初中數學求代數式的值范文

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一、借用整體思想求值

例1：3x+2y=1+3m ①2x+3y=1-m ②滿足 x+y

分析： 觀察方程組中x和y的系數，發現兩個方程中兩個未知數的系數的代數和相等，因此可以用整體

思想。

解：①+②，得5x+5y=1+2m，即x+y= 。

因為x+y

即m的取值范圍是m

評注：看到題目后不要盲目地計算，要善于觀察，尋找題目的特點，從而尋找簡便的方法。

二、巧用和差法

例2： 已知2x2+xy=7，xy+2y2=-5，則4x2-xy-6y2=___。（2013年全國初中數學競賽訓練題）

分析：4x2-xy-6y2中，其中代數式4x2、-xy和-y2，在已知的兩個等式中可以用等式性質變形所得，然后用和差法。

解：因為2x+xy=7 ①

xy+2y2=-5 ②

①×2-②×3 得4x2+2xy-3xy-6y2=14-（-15）。

即 4x2-xy-6y2=29。

評注：本題考查學生的觀察能力和探索能力，讓學生在探索的過程中尋求解決問題，培養學生的創新意識和創新能力。

三、取特殊值

例3： 若x+y+1=0，則x3+y3+4x2y+4xy2+x3y+xy3+2x2y2

=- 。（2013年甘肅初一數學競賽訓練題）

分析：因為滿足方程x+y+1-0的x，y有無數個，為了方便計算，可取滿足此方程的一組特殊值x=-1，y=0直接代入待求的多項式中。

解：取方程x+y+1=0的一組特殊的解：x=-1，y=0，代入待求式得：原式=（-1）3+0+4×0+4×0+0+0+2×0=-1。

評注：常規解法是對待求多項式恒等變形，整理成x+y的新多項式（x+y）3+（xy（x+y）2+xy（x+y），然后再整體將x+y=-1代入計算，使用該方法對學生的代數式恒等變形的能力要求較高。而取特殊值，則簡化了計算過程，提高了解題的效率。

四、設參數求值

例4：已知 = = ，求代數式 的值。（2013年全國初中數學競賽訓練題）

分析：已知條件只知道a、b、c三者之間的比例關系，是不可能求出各個字母的具體數值的。對于這種連比的題目，可設參數k進行代換求值，這是一種常用的方法。

解：設 = = =k，則a=4k，b=5k，c=6k。

當a=4k，b=5k，c=6k時， = =-21。

評注：此類問題，要求學生轉換思路，代入參數，起到橋梁作用，最后又消去參數，從而解決問題。

五、利用因式分解法求值

例5：已知x2+x= ，求5x4+10x3+9x2+4x的值。（2013年全國初中數學競賽訓練題）

分析：常規解法是先從二元一次方程中解出，再代入待求式中，解出很麻煩。我們可以先將所求代數式恒等變形，看看能否利用已知條件。

解：已知條件可變形為5x2+5x-1=0，所以5x4+10x3+9x2+

4x=（5x4+5x3-x2）+（5x3+5x2-x）+（5x2+5x-1）+1=（5x2+5x-1）（x2+5x+1）+1=0+1=1。

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【關鍵詞】初中數學；概念教學；三步

概念是一種思維形式，反映的是人腦對現實對象數量關系和空間本質特征。在初中數學中，涉及概念多，對于教師而言，這些概念都較為簡單，而學生從小學的基本數量關系認識要過渡到抽象的大量概念理解，存在一定困難。因此，在教學中，教師就需接著情境或問題或學生的已有基礎知識來引入概念，引導學生在合作中對概念的本質屬性進行分析，在應用中促進學生對概念的理解和升華。

一、創設情境，引入概念

概念是一種思維形式，故而具有抽象性。而初中學生的認知以直觀為主，這就需要教師在教學中，結合相應的概念來創設一定的直觀情境，借助問題引導，讓學生形成過渡，從而認識概念。

以“圖形的相似”的概念教學為例，學生們在生活中經常照鏡子，看電影都會碰到相似圖形，讓什么是“相似圖形”，要從生活認知過渡到理論描述，教師就可借助學生的生活常識進行。教學中，教師首先讓學生準備鏡子，玩照鏡子游戲，看看自己能在鏡子里看到什么，提出問題“鏡子中的物體和鏡子外的物體有什么相似之處？”接著以“說一說”活動來組織學生就生活中相似圖形舉例，再組織學生“畫一畫”相似圖形，在此基礎上，提出問題“兩個相似的圖形，他們的形狀和大小有什么相似之處？”引導學生理解相似圖形“形狀相同，大小不同”的特點，進而為相似圖形的學習奠定基礎。

當然，在情境中，教師也可根據學生已有的知識，引導學生在對舊知識的分析上而引出新概念。如在“矩形”的學習過程中，教師先利用幾何畫板畫出一個平行四邊形，然后拖動其中的一點，直到該點對應的角變為90°，引導學生觀察中獲得對矩形概念的認知。

無論采用哪種方法來導入，在情境中，教師除了利用情境來激發學生興趣外，還要結合教學內容而提出相應問題來引導學生思考，這樣才能有效地促進學生對概念的理解。

二、合作探究，分析概念

引入概念后，讓學生在自主學習的基礎上通過合作探究來獲得對概念本質屬性的梳理就顯得尤為重要。在這個過程中，教師借助問題，讓學生在對問題的探究基礎上總結，在分析問題中了解概念的本質尤為重要。

以“代數式的值”的概念教學為例，在本課時中，通過“了解”代數式的值的概念而學習求代數式的值的方法是重點。為此，教學中，教師先提出問題（1.a與b的和的平方；2.a，b兩數的平方和；3.a與b的和的50%.）讓學生用代數式表示。然后在用語言敘述代數式2n+10的意義的基礎上，將2n+10編為應用題，利用特值法來引導學生討論總結出“用數值代替代數式里的字母，運用代數式中的運算關系計算得出的結果叫做代數式的值”的概念。接著以問題引入例題，在合作解決例題中提出問題“求代數式的值可以分為幾步呢？在“代入”這一步，應注意什么？”讓學生在應用概念解決問題的基礎上歸納總結。

三、應用解題，理解概念

學生通過例題練習而對概念有了初步認識，但此時的認知還處于“模糊狀態”，學生對“概念”還認識不足，這就需要教師借助練習來對學生進行操練。一般情況下，教師可根據教材中的練習來引導學生進行操練，但同時需要考慮到學生的個體差異問題。通常教材中的練習都可分為基礎性練習、提升性練習兩類。在教學中，教師可將學生分為上下兩層，對上層學生而言，基礎性問題他們自己解決，教師主要引導其對提升性練習進行操練，同時可以開放性試題為引導，培養其問題解決能力。

綜上所述，在初中數學課堂教學中，教師要借助情境來引導學生從直觀到抽象過渡，初步認識概念，在自主學習基礎上合作分析概念，通過應用來理解概念，從而促進學生對概念的學習，提高其解決問題的能力。如在內錯角和同位角的概念學習后設計如圖1的開放題：要得到AD∥BC，只需滿足什么條件？同樣在全等三角形的概念學習后，設計如圖2的問題：AB=DB，∠1=∠2，添加一個什么條件才能使ABC≌DBE？

對于基礎較差的學生，在概念學習后，教師要以基礎性問題來引導他們進行應用，在分析和解決問題中，要引導他們再次去熟悉概念，同時，要鼓勵學生在分析和解決問題中描述概念，解決問題后總結，循序漸進地引導學生從概念到技能過渡。

總之，概念是數學學習的基礎，在初中數學教學中，教師應從學生實際出發來引導學生，而不能將學生的錯誤簡單歸結為不認真、不專心的因素，做到因材施教，不斷促進學生發展。

【參考文獻】

[1]陳利軍：淺析數學概念的教學[J]，學周刊，2011年13期。

[2]薛書果：創設情境在數學概念教學中的應用[J]，中學生數理化（高中版?學研版），2011年04期。

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根據中學數學教材編輯體系與撰寫特點，常見最值問題分為數式型最值問題、幾何型最值問題、函數型最值問題 。

一、數式型最值問題

（一）整除中最小公倍數法求最值

例1、設自然數x，y，m，n滿足條件，則x+y+m+n的最小值是_____. （湖北省黃岡市競賽題）

思路點撥 把連等式拆開用，用一個字母的代數式表示另一個字母，利用隱含整除條件，分別求出x，y，m，n的最小值.

解：1157 提示：x=y，m=y，n=m=y，因25│y，8│y，故y有最小值200.

（二）利用完全平方式的非負性質求最值

例1、設a、b、c滿足a2+b2+c2=9，那么代數式（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2的最大值是（  ）. A.27 B.18 C.15 D.12

（全國初中數學聯賽題）

思路點撥 利用乘法公式及完全平方式的非負性質，把代數式變形成與已知條件關聯的式子，進而求出最大值.

解：選A 提示：原式=3（a2+b2+c2）-（a+b+c）2≤27

（三）配方法求最值

例1、當 x=___時，且y=____時，代數式的最大值為________。（2005年6月攀枝花學院學報第22卷第3期教育論壇：初中數學中常見的“最值”問題及解法）

解：=-（x2+2x+1）-2（y2-4y+22）+4

=-（x+1）2-2（y-2）2+4，因此，當x= ―1時，且y= 2 時，代數式的最大值為4。

二、幾何最值問題

（一）利用幾何中“兩點之間線段最短”及軸對稱相關知識，借助數形結合思想、整體思想求最值

例1、（2008.深圳）要在街道旁修建一個奶站，向居民區A、B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？小聰根據實際情況，以街道旁為x軸，建立了如圖所示的平面直角坐標系，測得A點的坐標為（0，3），B點的坐標為（6，5），則從A、B兩點到奶站距離之和的最小值是 。（江胡陽.超越中考數學配人教版 內蒙古大學出版社）

解：先找A點（0，3）關于X軸的對稱點A1（0，-3），連接A1 B交X軸于點C， 連接AC。則C為奶站時，它到A、B兩點的距離之和最小。即為

直角坐標系下的兩線段之和最短問題，解決這類題的方法關鍵就是將兩線段之和的長度展直用一條線段的長度來代替（通過一次作對稱點，連結對稱點與另一點來實現）達到將問題轉化。利用兩點間的距離公式就迎刃而解了。

（二）化隱為顯，將立體空間里較為抽象的最短問題轉化為平面里較為直觀的最短問題。

例1、如圖（1），已知圓柱體底面圓周的半徑為，高為2，AB、CD分別是兩底面的直徑，AD、BC是母線.若一只小蟲從A點出發，從側面爬行到C點，則小蟲爬行的最短路線的長度是_________（結果保留根式）. （.cn網2008第二十四章圓一章單元檢測題）

分析： 因為是小蟲從A沿圓柱表面爬行，要求最短路徑可將圓柱側面展開如圖（2）所示的矩形，顯然沿連接AC的線段爬行是最短路線.

解：如圖（2），所求最短路線為線段AC的長度，

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關鍵詞：初中數學；數學思想；數學方法

新《數學課程標準》指出：“教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。”數學思想和方法是數學知識的精髓，又是知識轉化為能力的橋梁。在初中階段，數學思想方法主要有：數形結合、分類討論、整體、化歸、轉化、歸納、類比、函數、辯證、方程與函數的思想方法等。教師教會學生掌握數學思想方法是提高他們的數學素質、指導學生學習數學最關鍵的一環。

一、把握新《大綱》要求，創新教學方法

對數學知識和方法的本質認識就是我們說的數學思想，它是對數學規律的一種理性認識；解決數學問題的程序就是我們所說的數學方法，也是數學思想的具體反映。運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種量的積累達到一定程度時就產生了質的飛躍，從而上升為數學思想。

1.明確《大綱》的基本要求，把握教學“層次”。“了解”“理解”和“會應用”是新《數學大綱》對初中數學數學思想、方法所劃分的三個層次。在教學中要求學生“了解”的數學思想有數形結合、類比、分類、化歸、函數等。方程的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉化的思想方法。分類法、類經法、反證法等是在新《大綱》中要求“了解”的方法基本。消元法、待定系數法、降次法、配方法、換元法、圖象法等是在新《大綱》中要求“理解”或“會應用”的方法。

2.從“方法”培養“思想”，用“思想”指導“方法”。對于初中數學來說，大部分的數學思想和方法都很模糊，難以放開。而且數學中的數學思想和方法在現階段也還沒有一個很權威的定義。只是數學思想比較抽象，是屬于觀念一類的；而數學方法是較具體的，是實施數學思想的手段。在數學教學過程中，要想使數學思想與方法得到交融，最有效的方法是引導學生理解和應用好數學方法，以達到對數學思想的了解。例如，從未知到已知、從一般到特殊、從局部與整體的化歸思想，貫穿于整個初中數學之中，是初中數學的一個最基本的數學思想。新的初中數學課本中有消元降次法、換元法、配方法、待定系數法、圖象法等許多數學方法。

二、培養學生的數學思想，訓練用數學思維的解題方法

1.了解“數學思想”，培養“數學方法”。初中的數學知識還不多，學生也沒有很強的抽象思維能力。因此，只能以數學知識為載體，在教學過程中滲透數學思想和方法。如《有理數》這一章，新教材少了“有理數大小的比較”這一節，但它的要求則貫穿在整章之中。學生在學習了“數軸”之后，就知道“在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大”“正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數”。雖然沒有正式地比較兩個負數的大小，但學生頭腦中已有了這種概念。這就是一種逐級培養學生形數結合思想的方法。

2.訓練“數學方法”和理解“數學思想”。對于數學來說，有其非常豐富的數學思想，數學方法也很多，難易程度相差很大。在初中數學教學中一定要根據學生的具體情況分層次地進行滲透。這就需要教師在教學過程中認真地去挖掘教材中所蘊含的數學思想和方法，并對這些思想和方法認真分析，由易到難分層次地貫徹數學思想、方法的教學。如，在教學同底數冪的乘法時，教師可先引導學生觀察同底數的底數和指數是具體數的運算，尋找其規律，歸納出方法。再研究底數用a表示，用m、n表示指數的一般法則，并進行具體的運算。在同底數冪的整個教學過程中，我們要分層次地滲透歸納和演繹的數學方法，使學生養成良好的思維習慣。

3.掌握“數學方法”，運用“數學思想”。要使學生形成自覺運用數學思想方法的意識，必須建立起學生自己的“數學思想方法系統”，這更需要一個反復訓練、不斷完善的過程。比如，反證法是幾何中一種常用的證明方法，我們要根據初中學生的知識能力有選擇地讓學生證明有關問題，這樣能夠訓練學生良好的思維品質和開闊視野。

三、教學案例

例1：已知a≠b，且a2-4a-1=0，b2-4b-1=0，求代數式a2+b2-ab的值。求解此題，若是通過解方程a2-4a-1=0，b2-4b-1=0，分別求出a、b的值，再代入代數式a2+b2-ab中求值，計算量大，很麻煩。若是引導學生對比觀察a2-4a-1=0，b2-4b-1=0兩式的形式相同，根據此特征，進行聯想，把a、b看作是一元二次方程x2-4x-1=0的兩個根，聯想一元二次方程根與系數的關系，運用這種解題方法來處理此題，就簡單多了。

例2：已知s、t是方程x2-3x-2010=0的兩個實數根，則代數式（s2-4s-2010）（t2-4t-2010）的值是多少？對此題的求解，若先求出方程x2-3x-2010=0的兩個根，再把求出的s、t的值代入代數式（s2-4s-2010）（t2-4t-2010）中進行求值，計算繁雜。若根據方程的解的概念，把s2-3s-2010=0、t2-3t-2010=0當作一個整體，代入（s2-4s-2010）（t2-4t-2010）求值，就簡單得多了。

參考文獻：

[1]胡慶芳.美國研究性學習的理論與實踐[J].教學與管理，2009，

（03）.

[2]林益生.對當前數學教學的幾點思考[J].成都教育學院學報，

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一、數學教學中的主要數學思想方法

數學思想方法源于數學知識和數學方法，是對知識、方法、規律的本質概括，對解決數學問題，是解題思想，也是思維方式，同時也是解題策略和程序。在數學教學中對學生進行思想方法滲透的同時，給予明確揭示，并引導學生把握，將會使學生突破模仿型解題的水平，形成較強解決問題的能力，培養創新思維能力。

在初中數學教學中，常見到的基本數學思想方法有五種，我進行了初步歸整，并對各自的作用、特點和運作進行了簡要的總結。

1. 化歸

化歸思想方法是指研究和解決數學問題時采用某種手段通過變換使之轉化。具體地說就是把“新知”轉化為“舊知”，把“復雜”轉化為“簡單”，把“抽象”轉化為“直觀”，把“含糊”轉化為“明朗”。掌握了化歸思想，學生的認識起點和認知水平會迅速提升，會在解決數學問題時，有意識地對問題進行分析、類比、聯想，把未知的問題化歸為已知問題 ，從而輕松地解決問題。

它的實施程序是：找準問題的化歸對象——確定化歸目標——探尋化歸手段。　例如求四邊形的內角和：把四邊形轉化（化歸對象）為三角形（化歸目標），需要添加輔助線，連接對角線（劃歸手段），四邊形轉化為兩個三角形，通過三角形的內角和來研究四邊形的內角和。

要培養學生的劃歸思想，教師應充分重視在實踐教學過程中對學生進行化歸訓練，強化學生看透數學問題本質的意識，從而增強他們隨機應變的能力。

2. 數形結合

數形結合思想方法是指解決數學問題時將數量與圖形進行相互轉化。數形結合可以使抽象的數學問題變得直觀可見，有助于學生把握數學問題的本質，簡化解決方法和解決程序。

在初中數學中，以下內容慣用數形結合思想方法解決：實數與點、函數與圖像、曲線與方程。教師在培養學生數形結合思想方法時，要充分利用這幾部分內容進行訓練，引導學生認識到數形結合的對應性，揭示坐標系是數形結合基礎這一特性。

3. 分合

分合思想方法是解決數學問題時將研究對象分解組合。具體地說就是把原問題根據涉及的范圍分解為若干個新問題，分別求其解；然后通過組合其解而得到原問題的解。這種思想中具體使用的方法就是數學教學中經常說的分類討論法。

在初中數學中，以下內容慣用分合思想方法解決：含字母的絕對值、一元二次方程根的討論、解不等式組、函數增減性、弦切角定理。教師在教學中對學生揭示這種思想方法時，要引導學生在復雜度高、綜合性強的問題中運用，使學生在領悟分合思想方法的同時，培養他們思考和分析能力，提高他們解題時的全面性和嚴謹性。

4. 不變量

不變量思想方法是解決數學問題時，抓住問題中經過運動、變換、操作后仍保持不變的量。面對變化繁雜的問題，要想抓住聚合點，找出關聯，就必須揪住不變量這條重要線索，并把它作為解題的關鍵。

5. 整體思想

整體思想方法是從問題的整體性質出發，把某些部分看成獨立體，根據它們與整體的關聯，進行針對性的處理。具體使用方式包括整體代入、整體運算、整體設元、疊加疊乘處理等。例如用整體思想方法解方程，就是用方程中的某一個代數式整體去代入，解出代數式的值，再根據代數式的值解出未知數的值。

初中數學中，整體思想方法慣用于以下內容：代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何補形。在對學生揭示時，教師要在培養學生觀察辨析能力的基礎上，幫助學生構建從宏觀和整體角度認識問題的思維模式。

二、數學思想方法在教學中的應用案例

1. 幾何案例：多邊形教學

題目：求四邊形的內角和。

學生自主探究后，找出的解題途徑有6種（如圖所示）：

講評后，組織學生討論在這“一題多解”的背后，有什么共同的地方？（化歸為三角形的內角和）

緊接著開始拓展 ：求這個圖形的內角和 。

得出結論：多邊形都可以化歸為三角形（如圖所示）。

本案例中用到的數學思想有：

化歸——通過輔助線將“四邊形的內角和”化歸為“三角形的內角和”。

數形結合——幾何性質的四個角之和，通過角的分割、轉移與合并，轉化為代數意義的求和式的拆項、交換與結合。

分合——圖形的分割、轉移與合并，代數和的拆項、交換與結合，都體現了分解與組合。

不變量——角A、角B、角C、角D進行轉移、分合等變化，但和不變，體現了變動中的不變量。

2. 代數案例：方程的教學

題目：一元二次方程的基本解法。

學生總結出四種基本解法：開平方法、配方法、因式分解法、公式法。

組織學生討論，四種解法有什么共同處？（降次）

得出結論：“降次轉化”，是解一元二次方程各方法之“宗”。

本案例中用到的數學思想有：

化歸——把一元二次方程通過分解化歸為兩個一次方程。

分合——把方程分解成兩個因式，分別求值，再進行組合。

整體——在使用配方法和公式法中，將配方項作為一個獨立的整體代入。

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關鍵詞：初中數學 學生 思維能力 培養

數學科學發展到今天取得了輝煌的成果，為人類社會發展做出的巨大的貢獻。從某種程度上說，數學的發展歷史就是人類思維能力的發展過程，是人類智慧的結晶。數學中蘊含著人類無數的思想精華，是人們對世界對社會不斷發展的過程。而初中數學作為數學科學的基礎教育，也承擔著培養學生數學綜合能力和思維能力的使命，在整個數學教育中有著不可代替的作用。特別是在素質教育下，教育旨在培養學生的整體素質，這就包括了學生數學思想，乃至整個思維能力的培養。而其中學生獨立思維能力的培養，在當下更值得廣大教師重視。畢竟，在我國當前的教育模式下，大班教育是主要的形式，這就難免會出現學生學習模式化的可能，因此，強調對學生獨立思維的培養，對學生的未來成長意義重大。所以，初中數學教師在實際的教學活動中，可以對學生適當的進行獨立思維的教育和訓練。

一、強調思維的多樣性

初中數學是人類智慧的總結，體現了人類思維發展的成果，是一個內容豐富的思想體系。初中數學雖然只是基礎教育，但是在素質教育觀下，從培養學生綜合素質能力的角度出發，初中數學知識的編排和問題的設置也是呈開放性、多元化的。因此，要想學好初中數學知識，就必須要從思維多樣性的角度入手，在強調常規思維的基礎之上，進行適當的拓展，為此才能應對各種數學問題，才能真正的把握數學的內在本質。初中教師在這一認識上，就必須要在教學中適當的嘗試對學生進行多種思維的訓練，力求在保證學生掌握多種思維方式的基礎上，進一步培養學生獨立思維能力。畢竟，對初中學生而言，進行跳躍式的、非常規的獨立思維培養，是具有一定難度的，教師只有讓學生在吸收多種思維內涵的前提下，才能更好地啟發學生，讓學生在學習中嘗試獨立思考，找到與眾不同的思維方式。這就需要具體到數學問題解決上了。如已知：x2+x-1=0，求代數式2x3+4x2+3的值。在此題的解答中，教師可以在學生立足常規思維，利用原有思路進行解題的同時，進行不同思路的尋找，轉變思維方式和方向。常規的思維是先求出x2+x-1=0的根，直接代入所求代數式，然后得出答案。這樣的思維無可厚非，但是一方面是解題過程稍顯繁雜，另一方面是在思維運用上沒有跳出常規模式，對學生獨立思維的培養缺少幫助。而如果學生具備多種思維方式，在此題的解決中，完全可以調到另一個思維方式，采用更簡潔的方法進行解答。如運用整體思維。

解法一：x2+x-1=0，x2+x+1=2（其中x≠1）

x3-1=（x-1）（x2+x+1）

x3-1=2(x-1),即x3=2x-1

2 x3+4x2+3=2（2x-1）+4x2+3=4(x2+x-1)+5=5

解法二：x2+x-1=0，x2+x=1

2x3+4x2+3=2x(x2+x)+2x2+3=2(x2+x)+3=5

從以上兩種解法可以看出，多種思維的運用不僅可以幫助學生快速解題，也可以拓寬學生解題的思維，增強學生解決數學問題的能力。多種思維并舉，其實就是為學生尋找適合自己的數學思維方式奠定基礎，就是要讓學生嘗試進行不同思路的探索，以此培養學生探究能力和獨立思維的能力。

二、培養學生觀察問題的靈活性

思維的前提是感知，感知的前提的觀察。因此，要培養學生獨立思維的能力，增強學生獨立思考問題解決問題的能力，就得先培養學生的觀察能力。只有從觀察能力著手，提高學生判斷問題和分析問題的能力，才能進一步培養學生的個性思維。一般來說，數學思維的形成，總是先要對問題有正確的認識，能看透問題背后的規律和實質，唯此才可能尋得思維的突破口。因此，初中數學教師應該在教學中注意培養學生的觀察能力，落實到實際數學問題的解決中，也就是要培養學生審題能力。眾所周知，良好的審題能力，是解題的關鍵前提，審好題才能把握問題的本質，才能找到最好的解題方法。

在這一問題中，如果學生照本宣科，按照去絕對值的思維去解題，那過程將是十分繁雜的，部分學生會因為解題的繁瑣而產生錯誤，或者可能會產生思維混亂，陷入解題困境。但是，如果學生的觀察能力較為突出，就會發現題目信息中隱藏的關鍵信息點4y-4≥0，即y-1≥0。

由此可見，思維的獨立性，首先必須建立在觀察的靈活性和靈敏性上。善于觀察問題，才能找到問題的內涵，才能看透問題背后隱含的指引信息，才能在思維上形成突破。因此，初中數學教師應該在培養學生獨立能力的時候，注意對學生觀察能力的訓練，讓學生形成一定的問題意識和觀察意識。

三、結束語

總之，在素質教育觀下，培養學生的獨立思維能力也是初中數學教育的重點內容，初中數學教師應該從學生未來學習能力的培養著手，加強對學生思維能力和觀察能力等各方面的培養，從而從思想層面實現學生數學能力的發展。這對教師完成數學教學任務，提高教學質量也是意義重大的，因此，應該在教學策略上予以足夠的重視。

參考文獻：

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【關鍵詞】初中數學；化歸思想；應用分析

一、化歸思想在初中數學教學中的體現

1.化歸思想方法體現的結構性

初級中學數學分為代數和幾何，我們將這兩部分內容教材知識進行整理歸納，可以將蘊含在其中的較為零散的化歸思想提煉，得到有序的知識結構網絡。

代數部分分為數的運算、式的運算和方程三部分，數的運算部分，利用化歸思想在小學加法基礎上使加、減法統一得到代數和的概念；利用化歸思想在乘法的基礎上使乘法、除法得到統一；利用化歸思想引入絕對值將有理數化為算術數的運算。式的運算部分，利用化歸思想用字母代替數，根號中含字母的無理式、根號中不含字母的有理式和分母中不含字母的整式均可通過已學知識掌握。而方程的運算部分，等號連結代數式得到方程，不等號連結代數式得到不等式，利用化歸思想方法將其化為式的運算，從而得到整式方程、分式方程和無理方程。利用化歸思想可對整個初中代數知識有一個系統的了解，有利于學生把握知識間的關系，更好地掌握代數知識。

2.化歸思想方法體現的條理性

初級中學數學教材中充分體現了化歸思想的條理性。例如，新人教版七年級《數學》上冊第一章中在小學數學的基礎上引入了負數，開始進行有理數的運算。第二章在第一章的基礎上利用字母表示數引入了代數式。此后，學習5x、-3a2b等數與字母的乘積的單項式，ab+3mn等單項式的和――多項式。只有學生明白字母代表數及代數式的意義后才能進行整式的學習。隨后學習分式，而分式的運算思路正是通過化歸思想把分式運算轉化為整式運算。這樣一環接一環的條理性在教材中還有很多，我們在教學中應充分整理幫助學生更好地理解化歸思想。

3.化歸思想方法體現的層次性

初中數學教材的安排體現了化歸思想方法的層次性。教材的最基礎內容包括有理數、代數式、平面圖形及其位置關系和一元一次方程。平面圖形首先是三角形的學習，隨后學習了圖形的旋轉、平行四邊形，平行四邊形正是對三角形的進一步拓展。式的運算中，先是學習了整式，后又學習了分式，分式正是對整式的進一步深化。隨后又學習了代數和幾何的結合――函數，學習了反比例函數、二次函數，這正是對函數的進一步延伸。可見，化歸思想方法蘊藏在教材中，我們應該充分領會教材中的化歸思想，做到深入淺出，引領學生由簡到繁領悟、掌握化歸思想。

二、化歸思想在初中數學教學中的應用

1.根據學科特點設計化歸思想方法的教學

我們許多教師認為學生會做題就可以了，沒有特別注重數學思想的教授和講解，只是教授學生具體的做題方法和步驟，這種做法影響了學生對數學思想的認知和理解，不利于學生長遠的數學思維的培養。數學思維是一種不同于其他思維的抽象性思維，教師無法用直觀的圖形將其表示出來，因此，造成了教學過程中對數學思想的忽視，也造成了學生在學習過程中的困難。小學數學由于學生的認知特點，因而教材的安排和其體現的數學思想停留在較為低級的階段，而初中數學由于學生具備一定的抽象思維能力，因而教材中初步安排了一些數學思想的教授，特別是此階段化歸思想具有一定的基礎性，需要教師根據學生的認知特點和教材特點設計好課程，把原有知識和現有新知識聯系起來，這是一個長遠、連續的規劃，要求教師從整體把握教材。

2.精心設計訓練，提高化歸能力

教師不但要從思想上重視數學思想的教學，更要從行動中注重數學思想的訓練。數學思想的理解和掌握離不開習題的練習。這就要求教師精心設計習題，使學生在練習題的訓練過程中，培育、掌握化歸思想方法。例如，我們可以設計一些典型例題，讓學生運用化歸思想解題，這對提升學生的化歸能力和創新思維起著十分重要的作用。

3.利用動態思維，深化對化歸思想的認識

數學問題的解決方法是多元的，作為教師我們必須指導學生根據問題本身，利用動態思維，思考問題的本質，指導學生整理化歸過程，深化對化歸思想的認識。

比如，圓周角定理的證明，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

先證明圓心在圓周角一條邊上的這種特殊情況，對于圓心在圓周角內部和外部的一般情況都是轉化成圓心在圓周角一條邊上的特殊情況來證明。

已知：在圓O中，弧BC所對的圓周角是∠BAC，圓心角是∠B0C，求證：∠BAC= 1-2∠B0C.

分析圓周角∠BAC與圓心0的位置關系有三種：

（1）圓心0在∠BAC的一條邊AB（或AC）上，

（2）圓心O在∠BAC的內部，

（3）圓心0在∠BAC 的外部，

在第一種位置關系中，圓心角∠BOC恰為∠AOC的外角， ∠BOC =∠CAO +∠ACO （三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和），而∠OAC是等腰三角形（OA=OC=半徑），即∠CAO =∠ACO，推出∠BOC =2∠CAO，也即∠BAC= 1-2∠B0C.這種情況很容易得到結論；在第二、三兩種位置關系中，我們均可作出過點A的直徑AD，將問題轉化為第一種情況，證得結論。

以上的例題我們可以看出利用化歸思想解題時，具體方法不一定相同，但可以在待解決的問題和已解問題之間架起一個聯系的橋梁，這就是我們反思的關鍵。因此我們在學習中要不斷地構建知識結構，形成知識網絡。

4.注重化歸思想與其它數學思想的結合

數學思想方法是相互依存的，化歸思想作為眾多數學思想中的一種需要其他數學思想方法的配合。例如化歸思想和數形結合思想。數形結合思想將數與形相互轉化，平面直角坐標系充分體現了化歸思想和數形結合思想。我們以下題為例，說明化歸思想與數形結合思想的結合。

例：在平面直角坐標系中，已知A（8，0）、B（0，6）、C（0，-2），連結AB，過C作直線l與AB交于P，與OA交于E，且OE∶OC=4∶5，求PAC的面積。

解：由C（0，-2）得OC=2

OE∶OC=4∶5

OC= 8-5 ，E（8-5，0）

設過A、B兩點的直線AB的解析式為y=kx+b，則可得知

y=- 3-4 x+6

同理可求直線l的解析式為 y= 5-4 x-2

由AB直線和l直線可得P（4，3）

由此可求得AE= 32-5

SPAC= S PEA + SECA =1-2×32-5×3 +1-2× 32-5×2=16

學生掌握的數學思想越多，對數學問題的認識越深刻，解決數學問題的速度越快，為學生未來的學習打下堅實的基礎。

在初中數學的教學中，我們要運用新課標理念，認識化歸思想在教學中的體現，通過對學生認知特點和教材的分析，系統巧妙地探究化歸思想在數學中的應用，提升學生的數學素養，培養學生解決數學問題的能力。

參考文獻：

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整體思想是最基本、最常用的數學思想，簡單地說，就是從整體上去觀察、認識問題，從而解決問題的思想。運用整體思想，可以理清數學學習中的思路，可以使繁難的問題變得簡單化。

一、運用整體思想理解基礎知識

在平時教學中，常會遇到這樣的現象，看似簡單的問題，學生卻常常會解錯。如：當x取何值時，分式有意義？許多學生錯答成x≠0；學生會分解二項式x2-y2，卻不會分解16（2x+y）2-9（x-2y）2；知道平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，但不會簡便計算多項式的乘法（x+2y-z+3）（x-2y+z-3），諸如此類，比比皆是。究其原因，是不會運用整體思想，不習慣將一個代數式看作一個整體進行運算。而整體思想的建立和運用是清除上述思維障礙的根本途徑。

學生整體意識的形成與運用取決于教師對這類問題的長期訓練。在教學中，教師要對學生的思維不斷地、循序漸進地、有計劃地進行引導和訓練，使其能夠縱觀全局，從整體的角度去把握問題。

在學習用字母表示數時，通過實例讓學生知道字母可以表示一個代數式。反之，將一個代數式看作一個整體，也可以用一個字母表示。

在學習乘法公式和因式分解時，應通過練習讓學生進一步體會公式中的字母可以表示任意的代數式。反之，可將某一個代數式看作一個整體即相當于公式中的某一個字母。

在分式中，當分母的整體值不等于零時，分式才有意義，應避免將分母中的字母不等于零與分母不等于零混為一談。

用換元法解方程的實質就是將某一代數式看作一個整體，然后用另一個未知數表示，從而把問題轉化為簡單易解的類型。

在幾何問題中，常常需要把幾個量的和看作一個整體，運用整體思想解題和證題。

下面舉一個較典型的例子：ABC中，∠B、∠C的平分線相交于點O，且∠BOC=110°，求∠A的度數。

分析：要求∠A，可以先求∠ABC和∠ACB的度數，再使用三角形內角和定理，但根據已知條件，這兩個角是求不出的，如果能從整體的角度求出∠ABC+∠ACB，問題就解決了，顯然∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=2（180°-∠BOC）=140°，從而∠A=180°-140°=40°

二、運用整體思想，巧解數學“難”題

對于有些數學問題，可以把它的某一部分或全部看成一個整體進行思考和求解，從而使問題化繁為簡、化難為易。

整體思想的運用取決于整體意識的形成，然而，這種意識的形成并非一日之功，得靠長期的訓練。

有一天，一位參加數學興趣小組的學生拿來如下一道題向我請教，說此題缺少條件：

一個六位數最左邊的一位是1，若將1移到末位，則所得的六位數是原數的3倍，求原六位數。

顯然，若將原六位數設為105+104a+103b+102c+10d+e，就要列五個方程才能求解，的確少條件。但當設原數是形如1abcde的數后，就可將abcde看作一個整體，設為x，則可列出方程3（105+x）=10x+1，解得x=42857，所以原數為142857。

由此可見，運用整體思想解決上述問題條件就夠了。

從整體去考查問題可以除去一些細節，使思維簡化，難度降低，使問題得到巧妙地解決。下面再舉一例：

甲、乙兩人從相距1000米的兩地同時相向而行，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走40米，甲帶了一只小狗同時出發，狗每分鐘走100米，當狗遇到乙時立即返回甲處，遇到甲時又立即返回乙處，直到兩人相遇，問小狗共走了多少路程？

許多學生在思考本題時，往往先求狗第一次遇到乙時所走的路程，再求狗返回遇到甲走的路程，如此下去，問題就變得很復雜。若運用整體思想，從開始到甲乙兩人相遇狗一直在走，將狗走的總路程看作整體，只要求出狗走的總時間，而這個時間恰好是相遇時間。所以，只要設相遇時間為x分鐘，顯然，60x+40x=1000，x=10，從而狗走的路程為10×100=1000（米）。

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本文從教師的點撥，體會整體意識；學生領會整體思想，靈活運用解題；構造條件運用整體思想，提高思維能力三個方面進行論述.

【關鍵詞】 整體思想；教師點撥；學生領會；靈活運用；構造條件；思維能力

在小學里，學生主要以學習數學的基礎知識和進行基本運算為主. 進入中學后，學生的思維能力需要得到進一步的提升，《數學課程標準》的基礎理念中也指出，數學課程內容不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法. 所以教師除了對數學的基本知識和基本技能的教學外，還要逐步滲透數學思想方法的教學，提高學生的思維能力和數學素養.

整體思想，是通過研究問題的整體形式和整體結構，抓住問題的特點，進行整體處理，它主要體現在以數、式、方程、函數的運算中. 如果學生能夠從整體上去認識問題、處理問題，則會大大提高解題的速度和運算能力，也有利于培養發展學生的創造性思維.

但是數學思想的形成不是由老師強加給學生的知識，而是要依托在例題、練習的教學中，通過教師的點撥、引導，讓學生自己體會、領悟，逐步成為自己的思想方法和思維意識. 對于初一學生來說，他們的知識基礎和領悟能力還非常有限，那么教師在課堂中對思想方法的滲透教學，對學生頭腦中的數學思想的形成、發展、鞏固以及運用就顯得尤為重要.

一、教師的點撥，體會整體意識

分析 “絕對值”這一概念在初中數學中是學生學習的重點，也是難點，在教學中教師不僅要關注概念本身的內容，也要讓學生感悟到其中所包含著的數學思想. 化簡含有絕對值號的式子時，先根據絕對值的性質化去每個絕對值符號，再合并同類項. 如|a - c|，由圖形可知 a - c > 0，所以|a - c| = a-c，由于在絕對值符號中的a - c是一個整體在參與運算，所以將絕對值符號化去后仍然是一個整體，因此要通過添加小括號來體現.

評注 有理數、代數式的運算和化簡是整個初中階段代數部分的基礎，對于初一學生來說，這部分內容是學習的重點、也是難點. 數學知識是數學思想的載體，數學思想要通過數學知識來體現，教師在教學中一方面要關注數學知識、計算方法、運算法則，另一方面也要關注隱含其中的數學思想，揭示其中的規律.

對于學生來說思想方法是一個相對比較陌生的詞語，而且感覺比較深奧，在教學中教師要避免直接給出“整體的思想方法”的說法，而是要點明這些問題中蘊含的“整體觀念”，結合題目讓學生體會“整體”的意思，這樣有利于學生的接受和掌握，也有助于學生感受數學思想的價值. 另外教師也要教會學生用整體思想解題的方法，如果要把部分的內容看成整體，要用括號將這部分內容括起來，體現這個整體，然后繼續進行運算.

二、學生領會整體思想，靈活運用解題

評注 教材的編排是根據知識的發展體系進行的，而數學思想也就融入在數學知識體系中，所以在不同的知識教學中可以有共同的數學思想，這也就是數學知識點的本質.

經過一段時間的訓練，學生已經初步具有運用整體思想解題的能力，會把題目中的某個代數式或某個方程看成整體，從一個更高的角度來處理問題，拓寬了解題思路，提高了思維能力. 在上述的兩個例題中，如果學生運用常規方法解題，難度會比較大，運算比較麻煩，而如果運用整體思想解題，就可以簡化計算過程，將復雜的問題簡單化，會起到事半功倍的作用.

教學中教師可以鼓勵學生采用多種方法解題，然后將各種方法進行比較，通過比較體現出運用整體思想解題的優越性，并且在一次次的總結歸納中幫助學生把這一數學思想納入到已有的認知結構中，從而形成自己的思維理念.

三、構造條件運用整體思想，提高思維能力

例5 已知代數式x2 - 2x + 5的值為3，求代數式4x - 2x2 - 7的值？

分析 對于初一的學生還不會解一元二次方程，要解決這個問題不能通過解方程直接求x的值，而應該把x2 - 2x看成一個整體，求出x2 - 2x的值，再代入所求的式子中進行計算.

例6 計算1 + 2 + 22 + 23 + … + 220的值.

分析 觀察式子的特點，每一個加數都是前一個加數的2倍，加數的變化規律是相同的，如果把整個運算式子看成整體，然后通過式子變形，構造條件將大部分的項抵消，計算出最后的結果.

解 設S = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 220，則2S = 2 + 22 + 23 + … + 221，將2S - S = 221 - 1，所以S = 221 - 1.

評注 在這兩個題目中整體思想不是可以直接運用，需要將題目中的代數式進行變形，構造可以整體代入的條件，從而解決問題. 用整體思想解題不僅使解題過程簡捷明快，在構造條件、運用整體的思維過程中，學生的創造性得到了發展，思維能力得到了提高，解題方法得到了優化. 整體的數學思想方法在初一的數、式、方程的運算中運用的比較多，如果學生能夠很好地掌握并在解題中正確地運用，能使復雜的問題簡單化，大大提高解題的效率.

但是，并不是所有的題目都適合運用整體思想來解題，也并不是所有的知識中都能挖掘出相對應的數學思想，我認為數學思想在學生頭腦中的形成必定有一個循序漸進的過程，一定是通過大量的鋪墊、引導、水到渠成而形成的. 在教學中注意不要為了過分追求解題技巧而忽略常規的解題方法，所以學生的靈活運用就顯得尤為重要.

數學思想是數學知識的精髓，也是知識轉化為能力的橋梁，學生只有掌握了數學思想方法，才真正掌握數學的本質. 但是數學思想是隱含在數學知識背后的規律，是“無形”的知識，需要教師在教學中將其明朗化，將思想方法滲透在平時的課堂教學中. 特別是對于初一學生來說對數學知識的系統學習才剛剛開始，要避免把數學思想強加給學生，要引導學生參與探索知識的發生過程，體驗數學規律，讓學生在學習中逐步深入對數學思想的認識，逐漸形成自己的知識并加以靈活運用，為學生在數學上的后續發展奠定良好的基礎.

【參考文獻】

[1]艾乾發.淺析《新課標》幾種常見的數學思想[J].中學數學研究，2012（9）.

篇10

摘要：古人寫文章講究“啟承轉合、過渡自然”。其實，不僅是寫文章要如此，就是在數學教學中也要考慮銜接與過渡的問題。比如小學與初中的數學就要做到“平穩過渡，銜接巧妙“，讓學生順利進入初中學習狀態。

關鍵詞：啟承轉合 平穩 自然 巧妙

初一新生進入中學，面臨著課程負擔加重，教學內容加深，教學方法相應變化，這時要特別警惕可能出現以往數學成績較好的學生反而成績下降。這是為什么呢？他們好奇心強，活潑，可塑性大，如何利用這些幼時，結合他們的認識特點，使他們旺盛的精力、強烈的好奇心化為強烈的求知欲和認真學習的動力。變被動學習為主動自覺學習，搞好初一數學教學，科學地處理中小學數學教學的銜接與過渡。

面對初一學生，教師必須以實際行動關心他們的成長，深入了解他們的生活習慣、學習特點和興趣愛好，發現優點要及時給予肯定和表揚，鼓勵學生敢于發言，講出自己的見解。即使學生講錯了也不輕易否定，也要盡量做出積極評價，使學生產生積極的學習動機，充分信任數學教師。這才能對數學產生濃厚的興趣。

愛因斯坦有句名言：“興趣是最好的老師。”學生對數學學習一旦產生興趣，他的知覺就會清晰而明確，機型會深刻而持久，在學習上變被動為主動。這樣有利于小學數學到初中數學學習的轉化。

在教學中，巧妙引入，精心設疑，造成學生渴求新知識的心理狀態，激發學生學習的積極性和主動性，同時教師要嚴于律己，做好示范作用。嬌態自然隨和，吐字清晰響亮，板書認真規范，輔導親切細致，和學生打成一片，平等相處。

“溫故知新”，完成算術到代數的過渡。算術與代數雖然是數學中兩門不同的分科，但不能把兩者截然分開。代數是算術的加深，內容的豐富，知識的擴展和延續，逐步發展起來的。我們知道早期人們在生產實踐中產生自然數和分數，即算術數。由于現實生活中廣泛存在著相反意義的量。從而人們引入了負數，把算術數擴展到有理數。并研究有理數的大小比較和積運算，因此代數是在算術中的“數”和“運算”的基礎上發展起來的。因而學習代數時，要經常復習算術中的有關知識，切不可把算術丟在一邊。

在教學代數時，要注重“數學語言”，突破用字母表示。數及代數概念是教學的難點。而教師要事先加以必要的講解。如海拔高度，原點，正方向，單位長度，有效數字等。遠算法則像“兩者相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘“等，使學生能夠讀及懂，訓練學生正確使用理解和使用數學語言。

學生已經知道利用字母表示數，具有簡單明確，便于記憶，尤其具有普遍性和一般性，能簡捷地揭示食物的規律及本質特征，它培養人們對于數的一般性質有了更進一步的深刻認識，代數是要通過字母表示數的，從學習有理數轉到代數式，這是從算是過渡到代數的關鍵一步，代數區別于算術的最大特點是它引入了字母進行計算。這時字母表示數的范圍已擴大到有理數。因此必須注意的是字母a不一定表示證書，-a也不一定表示負數。不要造成認識上的錯誤，要從實質上于學生講清楚。

另外，在教學中要不斷滲透數與字母在運算上的一致性觀點。學生在小學階段接觸到的已知與未知是截然分開的。教師應掌握字母與數的通性。注意由已知求未知的同法教學，使學生認識到表示數的學習與具體數是一致，從而實現算術即代數的自然過渡。這為學習求代數式的值及一元一次方程的揭發等做了鋪墊。