初中數學常見的思想方法范文

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一、數學思想方法的教學對教師的要求

作為教師，要對教材有完整的研究和分析，歸納和揭示其特殊性質和內在規律，在教材分析中進行數學思想方法的把握，并在教學過程中進行滲透與教學，讓學生領悟數學思想方法的作用.在教學中，教師通過例題講解和反思活動，從具體數學問題和范例中總結歸納解題方法，并提煉和抽象成數學思想.還要在解題過程中，充分發揮數學思想方法對發現解題途徑的定向、聯想和轉化功能，舉一反三，觸類旁通，靈活運用數學知識和方法分析問題、解決問題，解決實際生活中的數學問題.

二、初中常見數學思想方法的教學例析

數學思想方法的教學應與雙基的講授融為一體，使學生逐步掌握有關的數學思想方法，提高數學能力，形成良好的數學素質.

1.方程與函數思想

方程與函數的思想方法在解決一般數學問題中具有重大意義.在初中數學里，方程與函數是學生最熟悉的工具，教材對方程與函數都作了較為系統的研究.對一個較為復雜的問題，常常先通過分析等量關系，列出一個或幾個方程或函數關系式，再解方程（組）或研究這函數的性質，就能很好地解決問題.

圖1

【例1】 （新人教版八年級上第50頁例1）如圖1，在ABC，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度數.

分析：本題中，利用等腰三角形的性質得到相關的角大小關系后，再根據“三角形內角和定理”作為相等關系建立方程，則可得解.

2.轉化思想

數學中充滿矛盾，在一定條件下都可以互相轉化.一般是把未知的問題朝向已知方向轉化；把難的問題朝較易的方向轉化，把繁雜的問題朝簡單的方向轉化；把生疏的問題朝熟悉的方向轉化，這就是轉化思想.例如，“平行四邊形的面積求法”的問題，通過探求解決問題的思想和策略，用轉化思想將其轉化成求已知矩形的面積.這樣以問題的變式教學，

使學生認識到求解該問題的實質是等積變換，即要在保持面積不變的情形下實現轉化目標，而轉化的手段是“三角形位移”，由此揭示了解決問題的思維過程及其所包含的數學思想，同時提高了學生探索性思維能力.

3.分類討論思想

分類討論，是對研究對象按某個標準進行分類，對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答，稱為分類討論思想.分類討論是逐類進行，是將復雜的問題分解成若干個簡單的問題，恰當的分類可避免丟值漏解，從而提高全面考慮問題的能力，提高周密嚴謹的數學素養.

【例2】 已知正實數a，試比較a與a的大小.

分析：很多學生都會由習慣思維很快得到a≥a，不全面考慮問題，造成遺漏.如果我們平時加強分類討論思想的培養，學生有分類討論的習慣，就很容易讓學生理解根據a的取值范圍01對這個問題分類討論才能把這個問題不重不漏全面地正確求解.

4.數形結合思想

數形結合就是充分運用“數”的嚴謹和“形”的直觀，將抽象的數學語言與直觀的圖形語言結合起來，使抽象思維和形象思維結合，通過圖形的描述、代數的論證來研究和解決數學問題的一種數學思想方法.

【例3】 已知點A（2，-3），點A關于x軸對稱的點的坐標是 ，關于直線x=1對稱的點的坐標是 .

分析：如果我們直接運用軸對稱的性質當然可以解決問題，但如果利用數形結合思想，結合軸對稱的性質則很容易直觀得到結論.可以看到通過圖形給問題以幾何直觀描述，從數形結合中找出問題的邏輯關系，啟發思維，難題巧解.

5.整體思想

整體思想就是從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特征，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的、有意識地整體處理.整體代入、整體運算、整體設元、整體處理都是整體思想方法在解數學問題中的具體運用.

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關鍵詞：初中數學教學；數學思想方法；應用研究

在初中數學的教學中，主要有數形結合、方程與函數、分類討論、化歸與轉化這四種數學思想方法，教師應該結合具體的教學內容，以數學思想方法對學生教學。

一、數形結合思想

數學是一門研究空間形式和數量關系的學科?！皵怠迸c“形”是數學學科中的兩個最基本的概念，數量可以通過幾何圖形表現出來，幾何圖形中也蘊含著某種數量關系。在初中數學的教學中應該突出數形結合的思想，幫助學生培養這種數形結合的解題思維，有利于學生將復雜的題目簡單化、便于理解；有利于學生對相關數學知識的記憶；有利于學生對于相關問題進行思考及找到便捷的解決方法。

1.由“數”推“形”

在初中數學問題進行講解時，教師可以將復雜的代數問題用幾何圖形表示出來，從中找取相應的數量關系，進行解答。尤其是對于相反數、絕對值的概念、有理數的大小的比較、函數等知識的教學時，可以充分利用數形結合的思想，幫助學生理解相關的概念，優化解答的方法。

例1：ABC的三條邊長分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，試判斷ABC的形狀。

解：a2+b2+c2-ab-ac-bc=0

2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0

a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2ac+c2=0

（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0

（a-b）2=0，（a-c）2=0，（b-c）2=0

a-b=0，a-c=0，b-c=0

a=b=c

ABC是等邊三角形。

2.以“形”表“數”

初中教師對于一些從題目看起來十分復雜的代數問題在進行講解時，可以利用已知的條件去構造相關的圖像，在根據圖形的特征去尋求答案。這種解題的思路有助于培養學生的畫圖能力，并考察學生對于幾何圖形的知識掌握情況。

二、方程與函數思想

方程與函數是初中數學教學的主要及重點內容，方程思想是把一系列數值通過找取關聯列成等式，從中求解的思想，而函數思想則是把數學問題中各數量間的聯系用函數表述出來的思想。在初中數學教學中，教師需要將函數與方程的思想緊密聯系，在兩者之間尋求聯系進行相互的轉化，從中求得解決問題的方法。

例2：已知：等腰直角三角形ABC中，AB=BC=6，若點P為線段BC邊上的一個動點，PQ∥AB交AC于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點C與線段MN不在線段PQ的同側，設正方形PQMN與ABC的公共部分的面積為S，CP的長為x.

1.試寫出S與x之間的函數關系式；

2.當P點運動到何處時，S的值為8.

三、分類討論思想

分類討論的思想是我們日常的生活中經常用到的一種方法，也是解決數學問題最常見的方法之一。在初中數學教學中，需要將分類討論思想分為“分類”和“討論”這兩個層面來進行教學。讓學生先確定分類的對象以及如何分類，其次讓學生確定分類的標準，再讓學生掌握分類的方法，鍛煉學生進行科學分類，最后對分類的結果進行討論。在進行分類討論思想的教學時，需要教師堅持由淺及深、循序漸進的原則。在初中數學中分類討論的思想不僅使學生掌握相關的分類方法，而且對“分類”的認識與理解更加深刻。掌握分類討論思想方法，能夠幫助學生更加準確、全面的看待問題。

例3：直角三角形的任意兩條邊長分別為3和4，求這個三角形的外接圓半徑等于多少？解：注意題中給出的是任意兩條邊長，所以分兩種情況討論。

1.當3、4是直角三角形的兩條直角邊時，斜邊長為5，此時這個三角形的外接圓半徑等于12×5=2.5

2.當3是這個三角形的直角邊，4是斜邊時，此時這個三角形的外接圓半徑等于 12×4=2。

從以上示例中能夠看出合理地使用分類討論思想對于初中數學問題有效解決的重要性。在分類討論思想的指導下，學生可以將一些復雜的問題變得簡單化，在提高問題處理效率的同時，也會加深學生對部分數學知識點的理解，對于他們學習成績的提高及數學思維模式的轉變具有重要的保障作用。

四、化歸與轉化思想

“化歸”是轉化和歸結的意思，是將新的問題通過轉化，歸結到一類已經學過的類型中去解決的方法?；瘹w與轉化思想在初中數學教學解題中十分常見，是分析解決初中數學問題最有效的方法。利用化歸與轉化的思想進行初中數學的教學，可以化難為易，化繁為簡，運用所學知識來解決復雜的難題。教師通過在初中數學中講解化歸與轉化的思想，可以幫助學生加深對于相關知識的理解與記憶。

例4：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC，DB相交于O點，且ACDB，AD=6，BC=10，求AC.

分析：1.根據梯形對角線互相垂直的特點通過平移對角線將等腰梯形轉化為直角三角形和平行四邊形，從而解決問題。

2.此題也可證AOD和BOC是等腰直角三角形，進而分別求出AO、OC的長，

則AC=OA+OC.

最終求得AC=8

通過對以上例子的有效分析，可知化歸與轉化的思想對于初中數學教學質量提高的重要性。對于一些復雜的、抽象的數學問題，老師應正確地引導學生加強對這種思想的理解，促使學生們在較短的時間內可以順利地解決問題，學會運用化歸與轉化的思想的同時及時地掌握這些問題中所包含的數學知識點。與此同時，化歸與轉化的思想在初中數學各種復雜問題解決過程中的有效使用，有利于推動初中數學教育體制的改革，提高課堂教學效率的同時能夠更好地轉變老師傳統的教學思路。

五、結語

本文主要就數學思想方法在初中數學問題解決教學中的應用，進行了相關的分析與探討。依次就數形結合、方程與函數、分類討論、化歸與轉化這四種數學思想方法在初中數學問題解決教學中的應用進行了相關的分析與研究。最終希望通過本文的分析研究，能夠給予的數學思想方法在初中數學問題解決教學中的應用，提供一些更具個性化的參考與建議。

參考文獻：

[1]錢玲.中學數學思想方法[M].北京師范大學出版社，2002.

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【論文摘要】 在學生接受義務教育階段，數學教學是重要的教學科目，并且數學思想和數學教學方法作為基礎知識，在教學中是重要的教學內容． 隨著新課程改革，在初中數學教學中認真地分析數學教學思維活動，培養學生的數學思想是非常重要的． 因此，本文就針對初中數學教學中的思維活動分析與數學思想的培養進行淺顯的分析和研究．

學生思維品質的好壞直接決定了學校的教學效果，學校為了促進學生的思維能力的發展，初中數學教師應該重視學生在數學教學中的思維活動，并且要認真地分析出數學教學的思維活動的發展規律，從而有效地培養學生的數學思想．

一、初中數學教學中的思維活動分析

初中數學教師在教學過程中應該合理地設計一些問題情景，充分調動學生學習數學知識的積極性和主動性，能夠使學生參與到教學活動中，讓學生親身經歷一下觀察、分析、猜想等思維活動，這樣初中數學教師在教學過程中才能不斷地掌握思維活動的發展規律．

1. 初中數學教學中合理地運用觀察方法

初中數學教師在教學過程中可以合理地設計情景模式，引導學生去觀察問題，使學生掌握相關的數學知識． 例如，初中數學教師為了讓學生了解球形的概念，可以讓學生觀察日常生活中經常看到的球狀物體，像籃球、足球、排球等，不斷地引導學生去觀察這些球狀物體的內在本質屬性，使學生形成球的概念． 所以，初中數學教師在數學教學過程中應引導學生通過觀察學習數學知識，這樣的初中數學教學才能掌握思維活動的發展規律．

2. 初中數學教學中積極引導學生分析問題

初中數學教師在教學過程中可以根據教學內容，積極地引導學生分析問題，從而使教師掌握學生的思維活動． 例如，學生在學習關于負數的相關知識時，首先要明白負數的概念， 那么教師就可以引導學生主動分析日常生活中常見的現象． 學生可以分析氣溫零上和零下，水位的上升和下降等現象了解正負數，這樣學生更容易掌握數學知識． 所以，初中數學教師在數學教學中，應該引導學生使用正確的思維方法，才能分析出思維活動的發展規律．

3. 初中數學教學中引導學生猜想問題

初中數學教師在教學過程中應該根據具體的教學內容，積極地引導學生去猜想問題，從而使學生猜想出相關數學知識，提高學生的思維能力． 例如，學生在學習圓的定義時，教師可以設置以下問題：車輪為什么是圓形的，而不是其他形狀？學生通過分析和討論，對問題進行推理，從而猜想到圓形車輪上的點到軸心的距離是完全相等的． 這樣學生通過自己的努力推理出圓的定義． 所以，無論初中數學教師怎樣分析教學中的思維活動，都要通過實踐去親身體會，才能準確地了解教學過程中的思維活動．

二、初中數學教學中數學思想的培養

初中數學教師在教學過程中通過講解數學知識培養學生的數學思想，使學生能夠認識數學知識和方法，理性地掌握數學規律． 因此，初中數學教師在教學過程中培養學生的數學思想是非常重要的．

1. 通過訓練方法，培養數學思想

由于數學思想的內容較為豐富，方法的難易程度也各不相同，因此，初中數學教師在教學過程中應該分層次滲透，通過訓練方法，培養學生的數學思想． 例如，初中數學教師在講解“同底數冪的乘法”時，教師可以分層次進行教學，首先引導學生分析當底數和指數為具體數的同底數冪的運算方法，使學生能夠歸納出一般方法，然后引導學生應用一般方法進行具體的運算． 這樣教師在教學過程中通過應用歸納和演繹等教學方法培養學生的數學思維，促進學生養成數學思想．

2. 引導學生建立數學思想方法體系

學生數學思想的形成是一個循序漸進的過程，初中數學教師在教學過程中只有讓學生進行反復的訓練，才能使學生自覺地運用數學思想方法，建立起符合自身發展的數學思想方法體系，從而培養學生的數學思想． 例如，教師在教學過程中可以合理地應用類比方法，學生在學習一次函數時，可以用乘法公式進行類比；學生在學次函數時，可以用一元二次方程的根和系數性質進行類比． 學生通過反復地應用類比方法，能夠熟練地掌握類比方法，養成一定的數學思維，進一步培養學生的數學思想．

3. 符號化思想和化歸思想的培養

符號化是初中代數中重要的數學思想． 初中數學教師在教學過程中培養學生的符號化思想是非常重要的． 數學教師在教學過程中首先應該讓學生認識引進字母的意義，以有理數為例，可以通過兩個不同意義的數說明“＋”與“－”所表示的兩種相反的量的意義． 其次，培養學生學習符號化的興趣，教師可以通過平方差公式等乘法公式，將符號化的鮮明特點展現在學生面前，使學生對符號化產生興趣，從而培養學生的符號化思想．

化歸是一種解決問題的策略，就是將數學問題化解和歸納為幾個較為簡單的問題． 初中數學教師在培養學生的化歸思想時應該讓學生掌握縱向化歸和橫向化歸思路． 縱向化歸思路是將問題看成是一組相互關聯的小問題，并且根據各個問題的聯系，逐個破解． 橫向化歸思路是將問題轉變為相互獨立的小問題再解決問題． 例如教師在講解一元一次方程時，就可以培養學生的化歸思想． 所以，初中數學教師在教學過程中應該根據教學內容，培養學生的化歸思想．

三、結 語

通過對初中數學教學中的思維活動分析與教學思想的培養的分析和研究，能夠使教師掌握初中數學教學中的思維活動規律，可以靈活地運用各種方法開展教學，培養學生的數學思想．

【參考文獻】

［1］黃家超．初中數學教學中如何滲透數學思想方法［J］．教育教學論壇，2011（30）：58．

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摘 要：在如今的初中數學課堂上，“數形結合”是一個十分重要的思想方法，它可以有效培養學生對數學知識的解讀能力，激發學生的創新意識，是如今新課程改革所倡導的主要學習方法。教師需要積極地培養學生數形結合的思維能力，以課堂教學為突破口，讓學生養成使用數形結合思想方法的良好習慣。結合教學實踐的相關內容，對初中教學中數形結合的思想方法展開深入的討論。

關鍵詞：數形結合；初中數學；教學；實踐

思維能力是決定了一個人數學能力高低的關鍵，在初中數學中需要大力提升學生的思維能力，數形結合作為一個十分重要且簡單有效的思維方式，將會對解決很多數學問題起到很大的幫助。巧妙利用數與形的關系，靈活地進行相應的轉變，一些看似很難懂的問題就會迎刃而解，達到事半功倍的目的。在這個過程中，需要著重了解數形結合的核心思想，讓學生掌握其中的技巧與

方法。

一、數形結合思想的實際應用

1.坐標系中的數量關系

十字直角坐標系中的數量關系在初中數學中十分常見，利用向量來表示線段圖形，是常見的題型之一。由于線段在十字坐標系中都可以用數字和坐標來表示，所以這也屬于一種十分常見的數形結合。利用數字和符號來表示出坐標系中的線段，形成代數級的向量，將向量之g的運算從十字坐標系轉移到代數上的運算，然后再通過代數中的運算結果，轉移回到十字坐標系中，就可以將原本復雜難解的問題進行簡化。這就是從基礎的部分入手，對數形結合的思想方式進行滲透，促進學生對十字坐標系中數量關系的理解，形成一種利用數形結合思想來解決問題的習慣與

意識。

例如，在一個十字直角坐標系中，有一個線段AB的坐標為（-3，5），線段CD的坐標為（6，-10），試問這兩個線段之間的關系？兩條線段所處的直線，能否相交？這是一道典型的數形結合類問題，單從線段坐標上看很難判斷二者有什么關系，教師需要將數形結合的思想觀念引入學生的腦中，要讓學生明白絕大多數的坐標類問題都可以利用數形結合的思想分析探討。線段雖然是幾何圖形，但一旦放入十字坐標系中，就完全可以轉化為向量。而向量則具有很多定理與性質，均符合代數的相關規律。線段AB與線段CD能否相交，就等同于向量（-3，5）和向量（6，-10）是否存在整數倍的關系。如果存在，則代表二者平行，如果不存在，則代表二者相交。如果二者的橫坐標與縱坐標的乘積之差為0，則代表了另一種特殊的相交關系――垂直。經過計算可以發現，二者的確存在整數倍的關系，則是平行的關系。

將坐標系中的線段利用數形結合思想進行轉變，是一個典型的題型。除此之外，數形結合也具有可逆性，將代數問題引入幾何問題也是十分普遍的。例如，坐標系中的速度與時間關系、距離與速度關系等問題，也可以利用數形結合的思想方法進行解答。

2.幾何圖形相關問題的數形結合

幾何圖形也是初中數學的重點之一，對圖形的面積、周長與數量關系等問題，都是需要讓學生深刻掌握的。例如，較為經典的勾股定理，就是運用了代數中的二次方來進行論證的。三角形的三邊關系，也是將其轉化為不等式，并最終反推出了定理。除此之外，還有一些圖形的規律求解，也是數形結合中的經典案例。

如上圖所示，一道求解規律關系的問題中，第一個圖形有1個正方形，第二個有3個正方形，第三個有6個正方形……以此類推，到了第二十個，就要比第十九個多出20個正方形。那么到了第n個的時候，就會有1+2+3+4+…+n個小正方形。再根據代數的相關求和公式可知，到了第n個的時候，會有n（n+1）/2個正方形。這也是典型的數形結合案例。

通過不同的例題，教師可以把涉及幾何的圖形問題進行轉化，轉為學生所熟悉的知識，就可以讓學生加深印象，更好地實現對問題的解答。數形結合具有可逆性，教師要培養學生主動應用這種思想的習慣，讓數形結合的思想與方法深深地落實到學生的腦海中。

在如今的初中數學課堂教學中，教師要利用現有的教材，對學生的思維能力進行有效的滲透，讓學生能深層次地掌握數形結合的思想方法。不單單要了解方法的概念，更要明白數形結合的綜合使用，落實到實踐中。教師需要更加認真負責，利用科學合理的教學方法，給學生充分自主思考的空間，提供合適的例題與教材，讓學生的初中數學能力與成績都得到本質的提高。

參考文獻：

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關鍵詞：數學思想方法；教學

數學思想，是指人們對數學理論與內容的本質認識，它直接支配著數學教學的實踐活動。數學方法，是指某一數學活動過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可操作性等特點。數學思想是數學方法的靈魂，數學方法是數學思想的表現形式和得以實現的手段，因此，人們把它們合稱為數學思想方法。在初中階段對學生進行數學思想方法教育是培養和提高學生素質的有效方法。并且，在《全日制義務教育數學課程標準》（修改稿）中明確指出：“義務教育階段的數學課程具有公共基礎的地位，要著眼于學生整體素質的提高，促進學生全面、持續、和諧發展。課程設計要適應學生未來生活、工作和學習的需要，使學生掌握必需的數學基礎知識與基本技能，發展學生抽象思維和推理能力，培養學生應用意識創新意識，并使學生在情感、態度與價值等方面都得到發展?！彼裕诔踔须A段對學生進行數學思想方法教育是十分重要的。

在初中階段，數學思想方法主要有：函數與方程思想、字母表示數思想、數形結合思想、分類討論思想、化歸與轉化思想等。筆者認為要使數學思想方法在教學中有效的應用，應該注意以下幾點：

第一，教師要整體把握初中階段的數學教材，要對初中數學教材進行數學思想方法的研究。教師作為知識的傳授者要對教材進行整體的分析和研究，理清教材的體系和整體脈絡，統攬教材全局，站在一定高度對教材的知識點、知識之間的連接等進行歸納，揭示其內在聯系和一般規律。

第二，以數學知識為載體，將數學思想方法融入教學內容之中。在數學教學的過程中，時刻都在體現著數學思想方法。如：轉化思想。在七年級數學中的一些重要章節中就體現得十分明顯。在《整式》這一章中，有很多知識點都體現了轉化思想。例如，已知x+y=－2，xy=3，求代數式（x+xy）－[（xy－2y）－x] －（－xy）的值。

解：原式 =x+xy－(xy－2y－x)+xy=x+xy－xy+2y+x+xy=2x+2y+xy=2（x+y）+xy

當x+y=－2，xy=3時，2（x+y）+xy=－1

除了在代數中體現外，在幾何學習中也體現突出。例如在《三角形》這一章中，已知∠A-∠B=20°，∠A+∠C=70°，求∠C的度數。這種類型題十分常見，在講解的過程中教師要注意通過題目對學生灌輸轉化的思想。

第三，對于重要或者較難掌握的數學思想方法，在教學過程中要反復講解、滲透，使學生逐步積累，以求達到掌握。例如，用字母表示數的思想方法，它是基本的數學思想之一。初中開始的代數就是建立在字母表示數的基礎上的。所以，教學中能否很好地滲透這一思想、應用這一方法，是使學生能否學好代數的關鍵之一。但是，從筆者自身的教學中發現，學生普遍覺得用字母表示數很難。例如：某商場1月份的銷售額為m萬元，2月份比1月份的2倍多4萬元，3月份是2月份的3倍少7萬元，求該商場第一季度的銷售額？一道簡單的數學題只要將數字換成字母，原本會做的題目就變為一道不知如何下手的難題。當然，從數到字母的過渡，是由特殊到一般，由具體到抽象的飛躍，這種飛躍，學生不可能一下子就能形成，需要一個較長的過程。要完成一個形象思維到抽象思維的過渡需要由淺入深，逐步形成。教學是個循序漸進的過程，以這道題為例，在教學中應該將這道題分成幾道小題來講解：①某商場1月份的銷售額為m萬元，2月份比1月份的2倍多4萬元，求2月份的銷售額？②2月份的銷售額為（2m+4）萬元，3月份是2月份的3倍少7萬元，求3月份的銷售額？③某商場1月份的銷售額為m萬元，2月份的銷售額為（2m+4）萬元，3月份的銷售額為[3（2m+4）－7]萬元，求這三個月銷售額的總和？這樣分解之后，學生的正確率大大提高了，并且十分有利于學生對字母表示數這一重要數學思想方法的掌握和理解。

參考文獻：

[1]曾祥偉.淺談初中數學思想方法教學（J）.教育理論，2009.4

[2]全日制義務教育數學課程標準（修改稿），2007.4，p4

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一、強調分類討論，提高數學思辨意識

分類討論是一種較為常見的數學思想方法. 數學思想具有很強的邏輯嚴密性，要讓初中學生在較短的時間內掌握一種數學思想方法是有一定的難度. 因此，教師在初中數學教學時，要重點強調分類討論的重要性，并善于引導學生用此思想方法解決數學難題，提高學生的學習積極性. 與此同時，教師應當依據學生的學習狀況針對性教學，估計學生用分類討論的方法多做數學題，加強數學思想方法的應用性和自身的思維能力. 以《統計的簡單應用》的教學為例，教師在講解時可聯系生活實際，讓學生在最為熟悉的情況下思考問題，這樣可以引導學生逐步探討數學現象. 當學生產生疑問后，通過教師詳細講解，學生對平均數的本質概念有了一定的理解. 數學的學習同樣是層層遞進的，在理解平均數概念的基礎上，學生能夠解決書本中平均數求值問題，能夠意識到分類討論可以用來分析生活中遇到的平均數現象，也能夠依據具體狀況用不同的分類方法解決實際問題. 無論是在日常生活中，還是數學題目中，分類討論的作用都十分明顯. 而在這個過程中，學生對分類討論的思想會有重新的認識，在生活中也會自然形成勤于分類的好習慣.

二、養成分類意識，形成概念分類思想

在實際教學中發現學生并沒有形成足夠的分類意識，還不擅長用分類的方法解決數學問題. 所以，教師應當充分考慮導致這些現象的因素，并根據教材，強化教學，即讓學生避免亂用分類討論的方法，引領學生在解決實際問題的過程中探討分類思想的本質. 數學課本中就有很多概念是通過分類給出的，很多概念都需要在特定的類型中才可以成立. 如絕對值問題就被分為三種情況，即絕對值符號里的數為正、負還是零. 又如遇到一元二次方程的數學問題，則需考慮其二次項系數是否為零. 諸如此類，這些概念問題的解決需要依據其不同的分類形式一一討論. 對于大部分學生來說，數學中很多概念過于抽象，需要教師不斷補充教學，同時可采用直觀的教學方式，將數與形結合，加強學生的記憶和理解. 例如：求一元二次方程mx2 - （m - 1）x - 2（3m - 1） = 0. 根據題目要求和一元二次方程的概念，首先就要排除m = 0的情況. 若將題目變為求方程mx2 - （m - 1）x - 2（3m - 1） = 0. 則需考慮m = 0和m ≠ 0兩種. 數學概念的不斷強化教學，使學生對分類方法的應用性得到顯著提高.

三、指導分類討論，幫助認清問題本質

初中數學教學中常常會遇到需要分類討論的題目，而這種類型的題目對于大部分的初中生來說有一定的難度. 對分類討論方法的不熟悉會讓學生無法很好地完成相關數學題，這也在很大程度上降低了學生的學習熱情. 因此，教師要盡可能站在學生的角度，用他們的視角或思考方向去教學，探究很多可行的思考方法，通過多向式的思維方式幫助學生走出固定的思維套路，積極開發拓展性思維，同時對學生應當具備足夠的耐心，認真指導學生探求數學問題的本質，提高分類討論方法的運用能力. 教師還應當提醒學生要時刻保持理性和嚴謹的態度，有條不紊的解決問題. 例如：在教學“平面圖形的認識”時，其中線段、射線、直線是最為常見和簡單的平面圖形，但學生的認知程度較淺，教師應根據其本質深入講解. 對于其他較為復雜或容易混淆的平面圖形，教師可以引導學生根據它們的特征進行分類，組織學生自行安排合作小組，展開討論，探究不同類型的平面圖形的異同點. 通過教師的指導和學生的熱情參與，學生對平面圖形的知識點有了較為全面的認識，看問題的角度也更加成熟、理性.

四、強化分類討論，培養清晰解題思路

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【關鍵詞】 數學解題規律邏輯思維

一、數學思想方法

在解題的過程中，學生對于題目的思考方式和技巧都是影響最終得分的關鍵因素，因此在教學過程中，教師要讓學生獨立計算出數學問題，并引導他們能夠對數學思想方法有一個清晰的認識，這樣才能正確地引導學生發現和學會總結解題的方法和技巧，提高學生的解題能力。根據初中數學的教學課程，學生所需要掌握的數學思想方法主要有：函數與方程的思想、數形結合的思想、分類討論的思想以及轉化與化歸的思想。學生能夠充分地在初中階段數學的各種題型中運用這些數學思考方法，那么他們基本上就已經開始了解初中數學的解題規律。下面，作者將簡單地介紹以上幾種數學思想方法：

（一）轉化與化歸思想

這種思想方法的實質就是揭示問題和結果之間的聯系，實現從問題到結果之間的轉化。具體操作是通過一系列的觀察、分析、聯想和類比的過程，運用合適的數學方法把問題進行交換，劃歸為已經學習的知識范圍內進行簡單的解決。

（二）數形結合思想

這是在初中階段較為重要的思想方法。數，是形的抽象概括；形，是數的直觀表現。數形結合思想多采用與幾何圖形的直觀表示數問題和運用數量關系來研究幾何圖形的問題。

（三）分類討論思想

該思想方法多采用于證明題或幾何題。把一個較為復雜的數學問題分割成若干個小問題逐步解決，從而達到解決整體問題的目的。是較為常用且重要的思想方法之一。

（四）函數與方程思想

函數與方程思想多用于函數和方程的填空、選擇和解答題中。這種題型首先要做的就是觀察題目所給的圖像，從已知條件出發，建立有關的函數解析式，并認真仔細地進行分析，選擇適當的數學工具，最終解決問題。

二、初中數學解題規律

初中數學的題目內容主要是數與代數式、方程與不等式、各種函數以及幾何證明題和解答題等，而主要題型是選擇題、填空題、解答題以及證明題。在數學這門科目中取得高分的關鍵就是根據考試內容和考試的題型采用不同的解題方法，這樣不僅達到得高分的目的，而且對于節省大量的考試時間有極大的幫助。作者將會結合上文所提到的數學思想方法簡單地總結初中階段數學的解題規律。

（一）選擇填空題

作者堅信，只要能夠掌握初中數學的解題規律一定能夠把高分視為囊中之物。不少同學因為各種因素無法合理安排考試做題時間，導致最后總分都偏低。現在作者將會以選擇填空題作為例子，簡單介紹幾個巧妙的方法幫助同學們節省考試時候做題的時間。

1.直接推演法。顧名思義，直接推演法就是從題目所給的已知條件出發，利用各種數學公式、法則以及定理等進行一系列的邏輯推理和運算，是一種較為傳統且簡單的解題方法。

2.驗證法。在做選擇題的時候，可以把各個選項帶入到題目中去進行驗算，驗證這一個選項是不是正確答案，因此，這個解題方法也可以成為代入法。一般來說，定量命題大多可以利用這個解題方法解決。

3.分析法。對于題目中所給出的條件和結論進行詳細的分析和判斷，計算和選擇最終的正確答案，這就是分析法。

4.特殊元素法?？梢岳靡恍┓项}目條件的特殊元素代入到題目的條件或結論中去，從而得出答案，如計算題型時可代入特殊數字1、幾何題型可代入特殊圖形正方形等等。

5.排除、篩選法。對于正確答案有且只有一個的選擇題，可以根據所學的數學知識以及一系列的推理和驗算把錯誤的答案排除，最終得出正確的結論。

（二）探索題

初中階段的數學探索題目大多以命題缺少題設或結論為主，要求學生通過推理或證明并補充命題，大致可以分為以下幾類：

1.條件類。一般要求學生利用一部分的條件或結論推理出所缺少的條件。這種類型的題目可以采用逆向思維求得答案。

2.結論類。這種題型要求學生根據已知條件求出相應的結論。

3.情景類。把實際問題通過建模方式轉變為數學問題，要求學生計算出最佳決策。這種題目主要考查學生的數學應用能力。

4.策略類。這種題型并沒有唯一的解答方案，學生可以通過各種途徑，利用各種數學知識進行解答，為求學生能夠突破慣性思維，培養學生的創新能力。

（三）幾何題

幾何題類型一直都是初中學生的心頭大患。它要求學生要具有一定的空間思維想象力和邏輯推理辯證能力，有很多學生面對這種題目都無從下手，是一大失分點。

1.構造法。在很多幾何證明題目當中，往往需要學生自己構造出一些輔助線，并同時利用一些定理和法則才能夠解答問題。構造法是比較常見的解題方法，有時候在代數、三角的題目中也能夠采用。

2.反證法。有些幾何證明題并不只有一種證明方法，學生可以先假設一個和命題的結論相反的結果，然后從這個假設出發，經過一系列嚴謹的推理推出與題目的條件相矛盾，從而可以否定這個假設，肯定原命題的結論。和構造法一樣，在很多計算題型中也可以用到。

3.面積法。在很多幾何題目中，面積公式不僅能夠計算面積，還可以證明平面幾何所需的結論。

三、結言

綜上所述，不難看出在數學的解題過程中往往要求學生能夠靈活多變，傳統的解題方法解決不了就要利用特殊的方法進行解答。以上所提到的解題技巧在解題過程中都是十分重要的，因此，教師的引導作用和教導作用是十分重要的。作者堅信，學生只要把握到初中階段的數學解題規律，才能夠提高解題效率，增強的數學能力。

【參考文獻】

[1]崔正月.函數y=k/x解題技巧[J].中學生數理化（教與學），2010.

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【關鍵詞】數學教學；數學思想；應用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1009-5071(2012)06-0176-01

《數學課程標準》在對第三學段（七-九年級）的教學建議中要求“對于重要的數學思想方法應體現螺旋上升的、不斷深化的過程，不宜集中體現”。這就要求我們教師能在實際的教學過程中不斷地發現、總結、滲透數學思想方法。

1 滲透數學思想，首要培養自主學習的目標

由于數學思想的存在，使得數學知識不是孤立的學術知識點，不能用刻板的套路解決各種不同的數學問題，只有充分理解掌握數學思想在各種問題上的運用，才能更有效地把知識運用得靈活。由此可見，要培養學生的數學能力，就必須重視數學思想和方法的訓練培養自主學習的能力，使得學生更容易理解和更容易記憶數學知識，讓學生領會特定的事物本質屬性，借助于基本的數學思想和方法理解可能遇到的其他類似問題，有效促進學生數學思維能力的發展。

現代數學教育理論認為，數學不是教出來的，更不是簡單地模仿出來的，而是靠學生自主探索研究出來的。要讓學生掌握數學思想和方法，應將數學思想和方法的訓練視作教學內容的一個有機組成部分，而且不能脫離內容形式去進行孤立地傳授。在數學課上要充分發揮學生的主體作用，讓學生自己主動地去建構數學知識。初中數學教學的目的不僅要求學生掌握數學的基礎知識和基本技能，更重要的是發展學生的能力，使學生形成優良思維素質。這對激發學生的創造思維，形成數學思想，掌握數學方法的作用是不可低估的。

2 函數思想的應用

古典函數概念的定義由德國數學家迪里赫勒1873 年提出。函數就是一門研究兩個變量之間相互依賴、相互制約的規律。在初中數學教學中，函數的思想是數學中處理常量與變量的最常見也是最重要的思想之一，可以說是一項極為重要的內容。

對一個較為復雜的問題，常常只需尋找等量關系，列出一個或幾個函數關系式，就能很好地得到解決。例如，當矩形周長為20cm 時，長和寬可以如何取值?面積各是多少?其中哪個面積最大?可以設矩形的長為x，寬為y。面積為S，然后慢慢尋找規律。得出矩形周長一定時，矩形的長是寬的一次函數，面積是長的二次函數，當長與寬相等時矩形就變成了正方形，而此時面積最大為16cm2。

3 數形結合思想的應用

數形結合不僅使幾何問題獲得了有力的代數工具，同時也使許多代數問題具有了顯明的直觀性。把代數式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結合，使代數與幾何問題相互轉化，使抽象思維和形象思維有機結合,是初中數學中十分重要的思想。應用數形結合思想，就是將數量關系和空間形式巧妙結合在數學問題的解決中，具有數學獨特的策略指導與調節作用。數是形的抽象概括，形是數的幾何表現，兩者其實緊密結合，以此來尋找解題思路，可以使問題得到更完善的解決。

例如，二元一次方程組的圖像解法，把數量關系問題轉化為圖形性質：A，B兩地之間修建一條l千米長的公路，C處是以C點為中心，方圓50千米的自然保護區，A在C西南方向，B在C的南偏東30度方向，問公路AB是否會經過自然保護區?

數形結合思想的滲透不能簡單的通過解題來實現和灌輸，應該落實在課堂教學的學習探索過程中，如在《相反數》這節課，先從互為相反數的兩數在數軸上的特征，即它們分別位于原點的兩旁，且與原點距離相等的實例出發，揭示這兩數的幾何形象。充分利用數軸幫助思考，把一個抽象的數的概念，化為直觀的幾何形象。在這種情況下給出互為相反數的定義：只有符號不同的兩個數稱互為相反數。特別地規定：零的相反數是零。顯得自然親切，水到渠成。同時也讓學生在數形結合的思想方法的引領下感受到了成功，初步領略和嘗試了它的功用，是一個非常好的滲透背景。

4 化歸轉換思想的應用

所謂化歸，即轉化與歸結的意思，就是把面臨的待解決或未解決的問題歸結為熟悉的規范性問題，或簡單易解決的問題，或已解決了的問題。人們解決問題都自覺不自覺地用到化歸的思想，這是一種知識的遷移。在整個初中數學中，化歸思想一直貫穿其中。從這個意義上講，人類知識向前演進的過程中，也都是化新知識為舊知識，化未知為已知的過程。因此，化歸是一種具有廣泛的、普遍性的、深刻的數學思想，也是解決數學問題的有效策略，它在數學教學中也顯示了巨大的作用。

例如，對于整式方程(如一元一次方程、一元二次方程)，人們已經掌握了等式的基本性質、求根公式等理論。因此，求解整式方程的問題就是規范問題，而把有關分式方程去分母轉化為整式方程的過程，就是問題的規范化，實現了“化歸”。

5 滲透方程思想，培養學生數學建模能力

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在一定范圍內求最大值或最小值的問題，我們稱之為最值問題。在初中階段，如何運用數學思想和方法來解決數學最值問題是值得探討的問題，本文結合初中數學常見的最值問題進行分析，尋求解決最值問題的一些方法。

一、利用函數自變量取值范圍的限制求最值問題

由于函數自變量取值范圍的限制，函數圖像局限于某一線段或某一部分。這樣，函數的值往往也確定在某個范圍內，從而存在最值，利用函數自變量取值范圍的限制求最值問題是初中數學中常見的方法之一。

二、利用配方法求最值問題

配方法，主要是利用完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2的結構特征。把待解決問題中的代數式，通過一定變形手段，構造出完全平方式：a2±2ab+b2，然后使式子表示成（a+b）2+k或幾個平方的和的形式，利用平方的非負性從而得到最值。

例1.設x，y為實數，代數式5x2+4y2-8xy+2x+4的最小值為 .

另外，我們經常利用二次函數的頂點性質求最值問題。如：求面積最大值，求利潤最大等。

三、利用根的判別式求最值問題

通常根的判別式可以判別一元二次方程根的狀況，可以用來研究二次函數圖像和x軸交點個數。在這里，我們還可以利用根的判別式求函數的最值。

例2.設x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的兩個實數根，當m為何值時，x12+x22有最小值，并求這個最小值。

分析：先由韋達定理知x12+x22是關于m的二次函數，思考是否存在拋物線的頂點處取得最小值，就要看自變量m的取值范圍，下面從判別式入手。

當問題分析得到二次函數的頂點式時，我們還要考慮到函數的頂點是否存在，如果頂點不可取得，那么問題變成為在a≤x≤b范圍內求最值。往往這些問題在考察分析綜合能力的同時，還考察思考問題的嚴密性。

四、利用幾何的方法求最值問題

數學是研究數量關系與空間形式的科學，“數形結合”是初中數學中重要的思想，利用定理“在同一平面內，兩點之間線段最短”幾何方法求最值問題是常見的好方法。

例3.如圖，在某個牧場A附近有個草場B，它們的旁邊有一條小河l。在這片土地上放養著一群牛。飼養員每天早上把牛從牧場趕到草場吃草，每天傍晚又把牛從草場趕回牧場休息。傍晚把牛趕回來時，飼養員每次都會讓牛先去小河邊喝水。設計一條把牛趕回來時的路線畫在圖上，要求路線最短。

分析：本題的難點不在于解題過程，而在于解題的思想方法。

解：首先，作點B關于L的對稱點B'，（如圖所示），OB'=OB，∠BOP=∠B'，OP=OP，OPB≌OPB'，PB=PB'.

因此，求AP+BP就相當于求AP+PB'。這樣，復雜的問題便通過轉化變得簡單，因此連接AB'得到最短路線，在L上確定點P，牛趕回來時的路線APPB最短。

數形結合是中學數學中重要思想方法之一，是數學的本質特征。它包含“以形助數”和“以數助形”兩個方面，正如華羅庚先生所指出：“數與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛。數缺形時少直觀，形少數時難入微。”

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某知名教育家指出：作為知識的數學出校門不到兩年可能就被遺忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數學精神、數學思想、研究方法和著眼點等，這些隨時隨地發生作用，使他們終身受益。因此，我們應該進一步加強數學思想方法在教學中的應用。所謂數學思想，就是對數學知識和方法的本質認識，是對數學規律的理性認識。所謂數學方法，就是解決數學問題的根本程序，是數學思想的具體反映。數學思想是數學的靈魂，數學方法是數學的行為。運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種量的積累達到一定程序時就產生了質的飛躍，從而上升為數學思想。當前最基本最流行的數學思想方法是數形結合的思想方法、分類討論的思想方法、化歸轉化的思想方法、函數的思想方法。能掌握好這些基本的思想方法，就相當于抓住了初中數學知識的靈魂。

一、數形結合思想。就是將數量關系和空間形式巧妙結合在數學問題的解決中，具有數學獨特的策略指導與調節作用。數是形的抽象概括，形是數的幾何表現，兩者其實緊密結合，以此來尋找解題思路，可以使問題得到更完善的解決。例如二元一次方程組的圖像解法，把數量關系問題轉化為圖形性質：A、B兩地之間修建一條l千米長的公路，C處是以C點為中心，方圓50千米的自然保護區，A在C西南方向，B在C的南偏東30度方向，問公路AB是否會經過自然保護區？

二、分類討論思想。所謂分類討論，就是在研究和解決數學問題時，當問題所給對象不能進行統一研究，我們就需要根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點，將對象區分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結果得到整個問題的解決。正確的分類應當符合兩條原則：（1）分類應按同一標準進行；（2）分類應當不重復，不遺漏。例如，把三角形分為斜三角形和等邊三角形兩大類，既有重復（等邊三角形是斜三角形），又有遺漏（不包括直角三角形），其分類標準不統一，故分類錯誤。分類后，對各個情況分別進行研究，得出不同情況下的結論，這就是討論。

三、化歸轉化思想。所謂化歸，即轉化與歸結的意思，就是把面臨的待解決或未解決的問題歸結為熟悉的規范性問題，或簡單易解決的問題，或已解決了的問題。例如，對于整式方程（如一元一次方程、一元二次方程），人們已經掌握了等式的基本性質、求根公式等理論。因此，求解整式方程的問題就是規范問題，而把有關分式方程去分母轉化為整式方程的過程就是問題的規范化，實現了“化歸”。

四、函數的思想。函數就是一門研究兩個變量之間相互依賴、相互制約的規律。在初中數學教學中，函數的思想是數學中處理常量與變量的最常見也是最重要的思想之一，對一個較為復雜的問題，常常只需尋找等量關系，列出一個或幾個函數關系式，就能很好地得到解決。