數學建模沒思路范文

導語：如何才能寫好一篇數學建模沒思路，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公文云整理的十篇范文，供你借鑒。

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關鍵詞　數學建模　教學　素質教育

中圖分類號：O29 文獻標識碼：A

隨著全國大學生數學建模競賽在國內影響力的日益提升，學生參賽的積極性逐年提高，從而對與之相搭配的數學建模的教學提出了更高的要求。在之前國內高校的數學建模教學往往以專設的課程教學為主，這種教學方式無形中割裂了數學建模與其應用學科領域之間的聯系，學生在學完數學建模課程往往不知其中的思想和方法如何應用，從而影響了教學效果和數學建模的推廣。最近，我國著名的中科院院士李大潛等專家針對數學建模的發展現狀，提出數學建模應逐漸由專設課程轉變為相關課程的融入教學，改革舊方法，引入新方法，讓學生在學習到某一專業領域知識的時候，適時引入數學建模思想，從而達到潤物細無聲的效果，促進數學建模教學的可持續發展。

1 當前數學建模存在的一些問題

1.1 教師隊伍單一

目前很多高校的數學建模教學隊伍往往是固定的，雖然對保持建模教學的連貫性和穩定性起到了積極作用，但是也限制了數學建模教學的推廣；只有這一部分的老師在其它課程的教學中有條件開展數學建模的融入教學，而對于更多的未從事過建模教學的老師要想進行建模的融入教學，則難以將建模知識點與專業知識進行有效的串接。

1.2 學生隊伍缺乏持續性

由于大一學生的數學理論體系尚未完全建立，而高年級學生往往忙碌于考研或者就業，因此對于數學建模競賽的參賽學生，大部分為本科二年級的學生。對于大部分大二參賽學生而言，參加完一年一度的數學建模競賽就似乎沒有了再參賽的動力，然而恰恰是這部分學生，參加過比賽，有著自己的經驗與體會，若能善加引導，例如一方面將自己的經驗介紹給新參賽同學，或者通過組隊的形式，形成老生帶新生的傳幫帶機制；另一方面若能以此為基礎，總結經驗教訓，繼續參賽，則更有可能獲得榮譽。

1.3 建模激勵機制有待創新

大部分建模指導老師需要持續多個月，甚至犧牲暑假的時間來培養和指導學生參加建模競賽，付出了辛勤的汗水，然后在學生獲獎之后有的老師卻面臨著尷尬的處境：學校沒有相關的獎勵機制或者獎勵力度不大，一定程度上打擊了指導老師的積極性，從而影響到指導教師隊伍的穩定性和教學的效果。

1.4 建模教學缺乏創新性

數學建模的教學往往分為兩類，一類是正常的專設課程，一類是類似夏令營形式的集中培訓。數學建模領域的知識往往分為多個課題，內容分散且專業化程度較高，教學方法一旦不當，輕則影響學習的效果，重則打擊學生的學習積極性，因此，要做好數學建模的教學，不僅要出力，還需要取巧，做到因材施教。

2 提高建模水平的一些思考

為了提高數學建模水平，普及建模思想，有必要針對上述問題有的放矢，提出改進的思路以及方法。

2.1 加大隊伍引進，倡導“全民建模”

針對教師隊伍單一的問題，加大數學建模導師隊伍的引入與培養是十分必要的。對于剛剛從事建模教學與指導的老師，通過類似“助教”的形式隨堂聽課、輔導答疑、指導參賽隊伍等不同形式，讓新教師盡早度過磨合期，能夠獨當一面。與此同時，在承擔建模教學以及比賽指導任務的學院或系所，應倡導“全民建模”：讓每一個老師能了解數學建模，參與數學建模，在自己所從事的專業課教學（例如數學分析）中挖掘數學理論與實際應用之間的關聯，讓枯燥的數學理論生動起來，讓學生切實體會到數學不是無源之水，真真切切領悟到數學的真諦與價值。

2.2 建立學生建模的可持續發展機制

面對大部分學生只參加一次數學建模競賽的現狀，鼓勵和動員這些學生再次參加競賽；這些學生一般都經歷過一次建模的暑期集訓，經過一次競賽的洗禮，積累了經驗，若不加以利用，在筆者看來就是造成了資源的浪費。問題總是有兩面性，若是能吸引這些學生將自己的經驗進行分享，例如舉辦建模經驗交流會，并且再次參與數學建模競賽，形成新老隊伍的共存機制，既能形成“傳幫帶”的良好局面，也能有效提高建模競賽的獲獎率，何樂而不為？

2.3 加大激勵力度，提高主管能動性

目前，一些老師對于從事數學建模的教學與指導任務積極性不高，缺乏有效的激勵機制是很大的因素。相同的時間，有的老師認為若能把時間花在科研、上，則既有獎勵，對自己將來的職稱評定也有好處，因此不愿意把時間花在數學建模上。針對這一情況，就要從機制上進行改革，使得從事建模教學的老師能夠與其他老師處在同一起跑線上，例如若建模獲獎，同樣也能有利于自己的職稱評定，則相信會有更多的老師投身到這一領域中。

2.4 改進教學思路，創新教學方法

毋庸置疑，教學處在數學建模培訓的中心地位，教學的好與壞直接關系到學生參加競賽的成與敗。

（1）案例驅動教學。眾所周知，一提到數學課程，大部分人的印象就是滿黑板的公式，使得很多學生對數學的學習產生了畏懼心理，在這些學生的眼中，數學成了陽春白雪，似乎與實際沒有什么瓜葛。數學建模的教學同樣如此，但若是能在教學中，尤其是在專業課程的教學中，針對領域內的特定情況或案例展開建模教學，使得理論與實際得到有效的聯系，兩者相輔相成，一方面在專業課的學習中領會到建模的精髓，另一方面通過領會建模思想升華對專業知識的理解。

（2）從灌輸式轉向啟發式。數學的教學稍不留意，就會陷入灌輸式教學的泥潭，因此在建模的教學中，要時刻注意避免這種方式的教學，多與學生互動，實現交互式教學，避免出現老師在講臺上口若懸河，學生在講臺下云里霧里的尷尬場景。

（3）多元化教學方法。現如今，教學的手段和方式都呈多元化，教學的背景也從單一的黑板轉向聲光電等多媒體媒介。數學由于其難度大，所以在引入多媒體時，務必要控制好節奏。數學教學使用黑板之所以有時比多媒體效果還好，很大的原因在于節奏沒有控制好：黑板在寫板書的過程中給學生留下了一定的緩沖與理解時間，多媒體若沒注意到這一點，則往往是學生還沒來得及理解怎么回事就已切換到幻燈片的下一幀；但是若在使用多媒體的過程中注意到這一點，則相比黑板教學更有效果。

工欲善其事，必先利其器。要想做好建模的教學，好的工具往往能起到事半功倍的效果。目前在數學教學領域可用的教學軟件除了常見的PowerPoint、Flash等軟件外，對數學符號有良好支持的TEX平臺得到了越來越多的關注，在TEX平臺上除可基于beamer宏包制作幻燈片之外，還可使用metapost、asymptote等工具畫出專業、形象的數學圖形，甚至生成可三維任意角度查看、與操作系統無關的pdf格式圖形文件，這些都對當前的數學建模教學起到了積極的推動作用。

3 結語

數學建模的教學對于促進素質教育的意義不言而喻，積極做好數學建模教學工作，普及數學建模知識對于目前社會各界培養復合型人才的需求具有重要的推動意義。

參考文獻

[1]　吳孟達,,毛紫陽.面向問題的數學教學—談數學建模對數學教學改革的啟示.高等教育研究學報,2011(34):15-16.

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引言

初中數學，可以說是真正接觸數學的開始，初中的數學相對于小學數學來說，是完全處在不同的體系中，有好多學生在小學的時候數學是相當厲害，哪怕是每天只知道玩，而花少量時間去學習，都能考上一個很好的成績，而上初中之后，這種方法似乎不再行得通。據調查，上初中后，數學成績兩極分化狀況特別嚴重，也就是成績好的就好的不得了，并且他們愿意花大量時間在數學學習上面；而成績不好的則是根本看到數學就怕，更不愿意在數學學習上浪費半點功夫。究其原因，全歸于一個興趣問題，在中國的這種應試教育的背景下，學生的知識都有那么一點被逼灌輸的意思，試想這種教育方式，有誰能不反感，就算有逼出來的成績，又有誰能去創新發展？要解決這些問題，還要從根本上解決問題，培養學生的數學興趣，才能讓中國數學真正興起。

一、我國初中數學探究式學習的實踐現狀

1.學校中依然保持著死記硬背和埋頭苦干的學習方式

在教學中，許多教師教給學生們唯一必勝的法訣就是死記硬背，在初中數學中，已經出現了很多定理和公式，這些定理和公式在數學證明或解題中是經常會用到的，在這么多的定理和公式中，要想全部記下是很有難度的，而這些教師大多會鼓勵學生多花時間，死記硬背，到時候做題直接套用就行了。然而這樣的方式往往會造成應用的時候出現錯誤，或者一下子難以找出而浪費做題時間。于是這些教師就讓學生多做習題，認為只有做多了才能見多識廣，才能不懼任何問題。這是我國學校在教學中數學教學存在的普遍現狀。

2.國家對初中數學學習做出規定

我國數學《新課標》指出，教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。有效的教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。數學教學活動應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法。學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。教師教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式和因材施教。教師要發揮主導作用，處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗。這充分的說明我國已經開始重視在教學過程中探究式教學的實踐了。

二、探究式學習的實踐方式

1.把數學帶入生活

我們學習數學的目的，不單純是為了應付考試，更多的應該是很好的服務生活，把數學帶入生活，可以加深對數學的理解。例如：當你走路經過彩票店的門口時，你可以對一些彩票的玩法進行一下了解，雙色球的玩法是，紅色區域是在33個號碼球中選擇6個，藍色區域是在16個號碼球中選出1個，了解這些之后，我們通過計算就可以知道，大家天天期待的一等獎的概率到底有多少了，一千七百七十二萬一千零八十八分之一的可能性，通過這種方式學習數學，不但能夠加深對學習的知識的印象，還能培養學生們對數學的學習興趣。

2.課堂中數學建模的探究

通過建立一個數學模型可以用來解決一類或幾類實際問題。開展數學建模的探究活動，可以先結合教學內容，由教師改編設計一些應用問題，在課堂教學中開展探究活動，讓學生逐步領會數學建模的思路和方法，為學生開展獨立的數學建模活動打好基礎。這種教學可以圍繞一個數學應用問題進行，也可以安排在一部分知識學完以后，引導學生靈活應用知識，體驗數學建模的方法，培養學生的應用意識[1]。

例如：一窩老鼠第一年有5只，第二年增加了10只，第三年增加了20只，到了第五年，這一窩老鼠有多少只？我們可以通過函數知識得出，五年以后的老鼠將會達到155只。（解題過程中，學生們可函數的知識得出經驗公式）

3.增加學生在數學學習過程中的動手實踐能力

實踐始終是檢驗真理的唯一標準，在教學過程中，老師就算講的透徹，學生們也只是停留在理論層次，并不能整真正去體會。老師們課外應該帶孩子們去參加一些實踐活動，培養孩子的動手能力。不如在帶孩子們參加學校舉行的全校性的集體活動的時候，就可以給學生們好好實踐一下統計學。在活動開始前就可以給學生準備好題目，讓學生去統計全校人數，初一的人數、初二的人數、初三的人數、教師的人數，初一學生、初二學生、初三學生、教師中沒來的人數，在分別算出沒來人數的一些比例。

例如：學校師生一共有568人，其中教師55人，初一學生沒參加此次活動的有12人，初二沒參加活動的15人，初三沒參加活動的10人，計算出沒來人數的比例，和沒來人數中，教師、初一學生、初二學生、初三學生各占的比例。

4.增添上課的趣味性

數學課一般上課都是很煩躁無趣的，若教師照本宣科，學生聽來索然無味。在課堂中設計富有情趣、意味和吸引力的問題，能提高學生學習數學的積極性，培養學生對數學的興趣，讓學生自覺的加入到數學的學習中。例如：在幾何中，知道長方體的長、寬、高分別是12cm、10cm、8cm，求長方體的面積。老師就可以那一個類似的長方體，把他們六個面的面積算出來再相加，然后用長乘高乘寬乘高的公式再算一邊，當得出的結果一樣是，學生們對這個了解相對更抽象一點。

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【關鍵詞】高中數學；機智處理；教學問題

錯題，在我們的教學生涯中是常見的。一般情況下，老師們對待它的態度：一知錯就改，二避而遠之。其實，有的時候我們換一種態度去對待它，可能會有意外的收獲。

一、發現問題，激發學習興趣

為培養學生的應用意識，提高學生分析問題、解決問題的能力，教學中首先應結合具體問題，教給學生解答應用題的基本方法、步驟和建模過程、建模思想。教學應用題的常規思路是：將實際問題抽象、概括、轉化――數學問題――解決數學問題――回答實際問題。具體可按以下程序進行：審題：由于數學應用的廣泛性及實際問題非數學情景的多樣性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的問題，舍棄與數學無關的因素，抽象轉化成數學問題，分清條件和結論，理順數量關系。為此，引導學生從粗讀到細研，冷靜、縝密地閱讀題目，明確問題中所含的量及相關量的數學關系。對學生生疏情景、名詞、概念作必要的解釋和提示，以幫助學生將實際問題數學化。？建模：明白題意后，再進一步引導學生分析題目中各量的特點，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代數式表示，它們之間存在著怎樣的聯系？將文字語言轉化成數學語言或圖形語言，找到與此相聯系的數學知識，建成數學模型。還原：將得到的結論，根據實際意義適當增刪，還原為實際問題。例如，某城市現有人口總數100萬人，如果年自然增長率為1.2%，寫出該城市人口總數y（人）與年份x（年）的函數關系式：這是一道人口增長率問題，教學時為幫助學生審題，筆者在指導學生閱讀題時提出以下要求：（1）粗讀，題目中涉及到哪些關鍵語句，哪些有用信息？解釋“年自然增長率”的詞義，指出：城市現有人口、年份、增長率，城市變化后的人口數等關鍵量。（2）細想，問題中各量哪些是已知的，哪些是未知的，存在怎樣的關系？（3）建模，啟發學生分析這道題與學過的、見過的哪些問題有聯系，它們是如何解決的？對此有何幫助？學生討論后，從特殊的1年、2年……抽象歸納，尋找規律，探討x年的城市總人口問題：y=100（1+1.2%）x。前不久，我在復習資料上發現這么一道錯題：已知定義在實數集R上的奇函數f（x）有最小正周期為2，且當x∈（0，1）時，f（x）=。（1）求函數f（x）在[-1，1]上的解析式。（2）判斷函數f（x）在（0，1）上的單調性。（3）當 為何值時，方程f（x）= 在[-1，1]上有實數解。在解題過程中，我發現：第一問可能很多同學不能求出x=-1和x=1這兩處的解析式，甚至會認為題是錯的。第二問，至少有兩種解法，定義法和導數法。第三問，我先是將其轉化成方程，用根的分布的方法解題，發現要考慮的情況太多了，這種方法不可取，想了想，然后改用數型結合的方法，這時問題出現了，不能畫出函數f（x）在區間[-1，1]上的圖象，原因是f（x）在x=0的地方沒有極限值。顯然這道題是個錯題，然后我翻閱了其他的資料，發現題干中的“-”號應該是“+”號。突然間我想起，德國教育家第斯多位曾說過：“一個壞的教師奉送真理，一個好的教師叫人發現真理”，于是我有個想法：我就把這道錯題交給學生，讓他們去發現問題，也許會比直接讓他們去解收獲更大。

我將這道題作為課后思考題交給了學生，并且告訴學生是個錯題，讓他們找解題方法，和為什么錯？當然課后免不了有學生要和我單獨探討一下。

二、設置問題，碰出思想火花

在講評這道題的時候，我沒有采取以往的直接破題，分析，解題，點評的步驟。而是通過創設問題情景將本題的解題思路、解題方法，和錯誤的地方，該怎么改？一一呈現在學生面前。我提的第一問是：同學們，你們發現問題了嗎？許多同學都自信滿滿的大聲說道：“是不是求閉區間[-1，1]上的解析式應該改為開區間？”已經通過我點撥的同學根本不給我機會，反對道：“不是”。并且主動要求：“老師，這個問題我來給同學們講”。我微笑示意，現在交給你表演了，他很自信的走上講臺，發揮得非常的好，同學們都恍然大悟，興奮之余還不忘送上熱烈的鼓掌。第二問：“那是那里錯了呢？會是第2問嗎？”這會兒不得了，反對我的同學很多，紛紛要求發言，一副要教我怎么做的表情，當然我不會打擊他們的積極性，順勢我就問第三問：“如果你認為沒錯，那請大膽的說出你的解法？”他用定義法給同學們，還有我，證明了第2問，步驟非常的完美。教室再次響起了久違的掌聲。掌聲剛落，有位同學發言了，“你太落伍了，還用定義法，導數法不是來得更快嗎？”他開始滔滔不絕起來。同樣的贏得了同學們熱烈的掌聲。就這樣第二問的兩種解法，猴孩子們都一一的呈現了出來，我也是興奮不已。

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【關 鍵 詞】雞兔同籠；假設法；教師評價

中圖分類號：G42 文獻標識碼：A 文章編號：1005-5843（2012）02-0156-02

在一節小學三年級數學課上，老師正在講雞兔同籠問題。她先向學生出示了題目：籠子里有一些雞和兔，每只雞有2條腿，每只兔有4條腿，它們一共有8個頭、26條腿，問這個籠子里雞、兔各多少只？

一名學生很快舉起手，老師就讓他把計算過程寫在黑板上。學生的列式為：5×4=20（條），3×2=6（條），20+6=26（條），并解釋道：“5只兔一共有20條腿，3只雞一共6條腿，那么雞和兔一共26條腿，所以有5只兔，3只雞。”

老師停頓了片刻，對學生說：“用未知求已知合理嗎？”學生一臉茫然，沒有吱聲。老師只好自己回答：“這樣不合理，下面我們就一起研究怎么做這道題。”接著就開始在黑板上畫表格，希望學生用列表法來解題。這名學生的計算為什么會被老師貼上“不合理”的標簽呢？老師的看法是否就非常合理呢？以下從幾個方面進行分析。

一、學生解題思路的實質――假設法

從題目本身來看，教師往往認為“8個頭、26條腿”是已知條件，而雞、兔的只數未知。在解題時一定要遵循用上個題目中的已知條件，通過列式求出未知量的普遍思路。因此，在教師看來，學生列式中所出現的“5”和“3”純屬無中生有硬造出來的量，自然不合理。然而，學生卻未必如此理解。通過分析這個班所有學生的解答過程，發現62％的學生都采用了類似的方法，因而有必要思考學生如此作答的原因及這種思路的實質。

學生從題中能夠讀出：雞和兔共有8個頭、26條腿，但它們各自的只數未知。為解決問題，學生也許會這樣想：如果確定了雞和兔其中一種的只數，另一種的只數也就確定了。于是假設如果有5只兔，那么就有3只雞。5只兔有5×4=20（條）腿，3只雞有3×2=6（條）腿，一共有20+6=26（條）腿，剛好和已知條件“雞和兔共有26條腿”相一致。所以假設成立，即有3只雞、5只兔。當然，也有一部分學生沒那么“幸運”，假設的雞或兔的只數與上述假設不同，求得的雞和兔的總腿數不是26條。

通過對學生追問還發現，學生并不認為假設的“5只兔”是未知量。有學生這樣說：“我認為有5只兔，那就是有5只兔”，顯然他已把兔的只數看成已知量了。既然有5只兔，那么就有3只雞。接下來，雞兔的腿數可求，總腿數也可求。最后將求得的腿數與已知的總腿數進行對比、檢驗就可以了。

這樣就不難理解了，學生解題思路實質上是運用了假設法。他們將自己假設的雞、兔的只數當作了已知量，將雞和兔的總腿數當作未知量來計算。而案例中的教師沒有充分理解學生這種解題思路的實質，也就沒有看出它和接下來要講授的列表法、畫圖法之間的關系，所以就將這種解答方法納入“不合理”的范圍了。

二、用未知求已知的合理性

在雞兔同籠問題的教學中，教師大多使用列表法、畫圖法進行講解，以求清晰直觀地呈現出假設的步驟，使學生初步理解運用假設法的優點。此外，這類問題還可以設未知數，列方程解答。那么，學生的列式中顯現的假設思路與這些常見解題思路之間有什么關系？這種用未知求已知的思路是否具有合理性？以下分兩方面進行闡述。

（一）從假設法的角度理解

教師在使用列表法、畫圖法講解時，絕對不能丟掉的詞就是“假設”或“如果”。這說明表格和示意圖是用來體現假設思路的形式，假設則是解題思路的實質。顯然，不能只注重對形式的認同而忽略對實質的深層挖掘和理解。

教師用列表法先假設8個頭全是兔，發現總腿數比實際多，逐步減少兔的只數，增加雞的只數，直到假設全部是雞為止，分別求出相應的總腿數，找到滿足已知條件的答案（具體列表過程略）。

可見，在這里列表法是以假設法為前提的。在雞、兔只數逐漸增加與減少的分析過程中，可以培養學生有序思考的能力，這種有序推理為學生從具體形象思維到抽象邏輯思維打下一定基礎。同時，列表法也體現了從未知到已知的過程，即通過假設，把未知（雞兔只數）當作已知，推理總腿數直至符合題意（共26條腿），再確定未知（對應的雞兔只數），得到正確答案。這種算術法借助假設增加輔助信息，逆向解決了問題。[1]

畫圖法也是在假設的基礎上進行的。教師先畫8只兔，說明她假設籠中全是兔（每只身上4條腿）。與列表法相似，由于總腿數比實際多，所以要逐漸減少兔的只數增加雞的只數（即每只兔減少2條腿），直到總腿數與已知條件相符，則答案確定。（示意圖略）

列表法與畫圖法方法雖然形式不同，但本質都是假設法，這與學生直接假設5只兔3只雞沒有本質差別。解答時運用假設增加輔助信息，實質是通過把未知當作已知推理符合題意的數量關系再求得未知的過程，是從未知到已知的過程。

（二）從方程的角度理解

方程思想是重要的數學思想，它的核心體現在建模思想和化歸思想。其中建模思想的本質就是用等號將相互等價的兩件事情聯立。[2]本題使用方程法解通常分以下步驟：先設一個或兩個未知數，根據已知建立等量關系式（列方程），再利用等式性質（方程的同解原理）通過變形求出符號代表的數值（解方程）。（參見表1方程法一、二過程）。它將生活中的問題用數學模型表達，體現了高度的抽象性。對比學生的解答不難看出，學生假設的5只兔對應方程法中的x，3只雞對應（8-x）或者y，推理總腿數對應方程同解變形（參見第三步），這說明學生已經在形式上體現了方程方法的蹤跡。

在內容上，學生解答中的26與方程法中的26表達的含義不同。學生寫的26是在假設的前提下求得的總腿數，如果假設的數據不同結果可能不同，方程法中的26是已知條件不會隨意改變。可見，學生用的僅是計算的一種方法，還沒有真正體現代數方法中用等號連接等價事物的建模思想。當然，從算術法到代數法還要經過很長的學習過程，如此解答是符合學生認知規律的。

方程是為了尋求未知數，在未知數和已知數之間建立起來的等式關系。[3]這種等量關系的建立是通過設未知數把未知當作已知來表達的，再通過解方程求得未知。所以，從未知到已知的探究問題具有一定的合理性。

三、教師指導的針對性

教師在進行評價時，不能只簡單地判斷對與錯，要發現學生言語背后所表達的意思，找到它的合理性，再進行引導與提升。案例中老師希望要傳授的列表法、畫圖法和方程法與學生“湊數”的方法本質是一致的。教師如果認識到這一點，完全可以由學生的論述深入挖掘，引出不同形式表達同樣的數學方法之一核心。還可以進一步進行對比，找到各種方式的優缺點引發一個擇優的過程等等。只有充分理解學生的想法，并輔以針對性的評價與指導，學生才能體會到數學內在的、深刻的美，才會真正樂學、愛學。

參考文獻：

[1]曾小平,劉長紅.談談算術與代數的本質與區別――兼答“算術法和方程法那個重要”[J].小學教學,2011(11).

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一、在動靜交替的感官經歷中積累操作經驗

數學是抽象性、邏輯性很強的學科，小學生的思維正處于由具體形象思維為主向抽象邏輯思維為主的過渡階段。小學數學教學必須在數學知識的抽象性和學生思維的形象性之間架起一座橋梁。這座橋梁就是動靜交替的感官經歷，即學生的手、口、眼、腦等多種感官參與到操作活動中來，不僅有行為的動，更有思考的靜（表面是靜，實際思維也在動）。教學中，只有組織全體學生利用多樣的操作介質經歷不同的操作過程，學生才能真正積累、形成操作經驗。操作經驗的形成離不開教師的設計和指導，為幫助學生積累豐富的操作經驗，教師除了要選擇恰當的操作材料外，更應精心設計操作的程序。實踐中，我們總結出以下兩種程序。

1.動為先導，以動促思

兒童是在動作中思考的，其直觀動作思維也被稱作“用手思維”。數學的學科特點與兒童思維的特征具有一定的相似性，這就決定了小學數學教學的動手操作活動，同樣是學生智力活動的重要源泉，也是學生積累直接經驗的重要途徑。多數的數學教學是從學生的動手操作開始的，并在動手操作的基礎上引導學生思考、交流和發現新知。

【案例1】蘇教版二年級上冊（下面的案例均為蘇教版）“認識平均分”

在幫助學生形成“平均分”的概念時，教師安排了這樣三次操作活動：

（1）任意分6個桃子，初步感知平均分：有的是平均分，有的不是。

（2）平均分8個桃子，建立“平均分”的概念：每份同樣多。

（3）平均分12根小棒，深入理解平均分：總數一樣，份數越多，每份數越少；每份都是同樣多。

平均分概念的形成離不開分物體的操作活動。怎樣組織“分物體”的操作活動呢？教師并沒有將教學停留在“分”的動作層面，而是借助學生分的動作不斷將思維引向深處：在三次操作活動之后都對“平均分”進行交流、反思。這樣就將學習過程中的操作活動和智力活動變為思維的對象進行反省，幫助學生將操作經驗進行優化。

2.靜為先導，以靜帶動

學生的操作是一種定向的心智活動，其方向決定于數學目標，其過程要有利于揭示概念的本質和知識間的內在聯系。所以，在學生操作前應安排一個思考的環節，其功能，一方面是完成操作的內部動因；另一方面是建立活動的定向映像，使之成為操作過程的導引與調節系統，也就是讓學生帶著問題去操作，即先思再做。

【案例2】二年級上冊“乘法的認識”

為了解學生是怎樣理解乘法的，可先讓學生畫圖表示4×3。在兩個班級我采用了不同的教學方法：第一個班級，學生沒有思考就直接畫圖，全班有30.8%的學生用第一種畫法來表示，有69.2%的學生用第二種畫法來表示。第二個班級，要求學生先想一想4×3表示什么意思，再畫圖表示4×3。用下面三種畫法表示的人數分別占5.9%、84.3%和9.8%。

第一種畫法：

第二種畫法：

第三種畫法：

用畫圖的方法來表示乘法算式的意義，對于學生來說是有一個富有挑戰性的操作活動。由兩個班級對同一內容的操作對比可以看出：在思維引導下的操作才是有效和富有創造性的。

二、在出入穿梭的高峰體驗中積累探究經驗

在小學數學中，探究經驗集中體現在形成概念的經驗、發現規律的經驗和推理的經驗，即在概念形成、規律總結和邏輯推理等活動中積累的經驗。形成這些經驗的重要途徑之一就是“體驗”：讓學生在高峰體驗中體會、回味、總結、提升探究經驗。

1.進入沖突情境，點燃探究熱情

學生是學習的主體，其對于數學活動的參與態度與參與程度直接決定了數學基本活動經驗的獲取質量。教學中首先要帶領學生進入真實、有趣、富有認知沖突的情境之中，激發學生對數學活動的興趣，引發學生的探究熱情，調動學生積極參與探究活動。

【案例3】三年級上冊“認識周長”

周長概念的引入，教師創設了“懶羊羊每天繞操場跑一圈”的情境：第一天，懶羊羊沒有完全沿著邊線跑，而是跑到了操場的里面；第二天沿著操場的邊線跑，但是沒有跑到原來出發的地方；第三天沿著邊線跑，正好回到出發的地方。

關于“周長”概念的教學，多是從故事情境切入，如螞蟻繞樹葉爬行、小鴨子繞游泳池熱身等。這些情境盡管富有童趣，但仍無法激起學生探究的興趣。究竟什么樣的情境能夠激活學生已有的生活經驗，進而點燃學生的探究熱情呢？相對于螞蟻爬樹葉、小鴨子繞游泳池熱身而言，“繞操場跑步”更貼近學生的生活現實，“繞操場跑步”的生活經驗在“懶羊羊體育鍛煉”的兒童化情境中得到放大，學生的探究熱情被點燃，在三次鍛煉的過程中，生活經驗與數學本質的沖突逐步加深，學生從正反兩個方面深刻體驗到“周長就是一周邊線的長度”。

2.超脫沖突情境，反思探究路徑

學生在學習新知識之前，頭腦中并非一片空白，而是具有不同的原有認知結構，學生總是試圖以這種原有的認知結構來同化對新知識的理解，當遇到不能解釋的現象時，就會打破之前低層次的“平衡”產生新的“沖突”，通過“沖突”的不斷化解又會實現新的平衡與發展。在認知的二次平衡或多次平衡之后，教師應該引導學生及時跳出問題情境，反觀探究的路徑和方法，進而提升學生的探究經驗，使得探究經驗明晰化和系統化。

【案例3】三年級上冊“認識周長”

教學完周長的意義后教師組織了一個層次遞進的探究活動。

（4）比較這兩個圖形，說一說自己的發現：用不同方格數拼成的圖形，它們的周長可能相等。

（5）激疑：用相同方格數組成的圖形，它們的周長是否一定相等呢？

（6）操作驗證：以6個方格為例，在方格圖中畫出圖形驗證這個猜想。

（7）回顧反思：我們剛才是怎樣得到這個發現的？

上面的探究活動學生經歷了三次認知沖突：第一次是3個方格拼成的圖形，它們的周長并不是3個方格周長的總和；第二次是用不同方格數拼成的圖形（3個方格和4個方格），它們的周長可能相等；第三次是用相同方格數組成的圖形，它們的周長不一定相等。在這三次認知沖突中，學生一次次打破認知平衡，一次次建構新的認知結構。最后的回顧反思環節，是對三次沖突的梳理和總結，更是對探究路徑的梳理和提升。

三、在豐簡變換的問題解決中積累應用經驗

應用經驗主要是指運用數學知識和技能綜合進行鞏固練習的經驗、問題解決的經驗。這里僅探討問題解決的經驗。

數學問題解決的過程與數學建模的過程具有很強的相似性，學生形成應用經驗的途徑之一就是經歷數學建模的過程：理解現實問題情境——簡化并結構化所描述的情景——將被簡化的現實情景翻譯為數學問題——用數學手段解決所提出的數學問題——根據具體的現實情景解讀并檢驗數學結果。與此相對應的認知過程為：問題表征——模式識別——知識遷移——思維監控。其中，問題表征和模式識別對于應用經驗的形成具有極其重要的作用。

1.簡中求豐，表征問題

問題表征是指根據問題所提供的信息和自身已有的經驗，發現問題的結構，構建自己的問題空間的過程。這個過程既是對問題的理解和內化，也是對問題理解的一種解構。

解決問題的教學如果僅僅關注問題的答案，就顯得過于簡單了，因為簡單的問題中常常蘊含深刻的數學規律和數學思想方法。因此，教學應該從簡單入手，將簡單的問題進行豐富化處理，即擴大問題表征的時空，經歷問題表征的過程，積累問題表征的經驗。

【案例4】二年級上冊“求比一個數多（少）幾的實際問題”

在鞏固練習階段，教師先是安排了教材“想想做做”的第1、2兩題。

在讀題后并沒有讓學生動手解答，而是提出新的要求：如果畫圖來表示兩個小朋友走的格數，你想怎樣畫呢？引導學生逐步完成。

在此基礎上，引導學生說出直條圖的意思，使學生認識到由這個直條圖不僅可以清晰地得到信息，而且還可以清晰地看出劉芳走了多少格。

下面的圖你能看懂嗎？把你理解的題意說給同桌聽一聽。

本節課僅從知識的角度看，教學的內容比較簡單，但教師并不是著眼于知識的教學，而是注重數學活動經驗的積累——問題解決中“表征問題”經驗的滲透和指導：線段圖是數學問題常用的、重要的問題表征形式之一。蘇教版教材第一次出現線段圖是在三年級上冊。這節課出現直條圖（線段圖的直觀形式）就是在簡單知識中進行自然滲透，顯然，這樣的教學形式更為豐富和深刻。

2.豐中求簡，識別模式

模式識別是一種知覺過程，當人們能夠確認他所知覺的某個模式是什么，而且將它與其他模式區別開來的過程就是模式識別。在數學應用中，模式識別是指對數學模式的再認識。在數學問題解決中，具有共同結構的一類問題或者具有相同解法的一類問題就是一種模式。因此，要幫助學生形成識別模式的經驗，就要讓學生在豐富的問題中通過比較找出相同的特征，并用簡單的模式來表達這種相同特征。

【案例5】二年級下冊乘法練習十二

8.修一條800米長的水渠，已經修了7天，每天修84米。還有多少米沒修？

9.（1）冬冬看一本75頁的故事書，第一天看了20頁，第二天看了22頁。還有多少頁沒有看？

（2）冬冬看一本75頁的故事書，已經看了3天，每天看20頁。還有多少頁沒有看？

教學第9題時，學生讀第（1）小題后正準備解答，教師提示：這一題與前面的哪一題在解題方法和解題思路上是相同的呢？解答后再比比、想想：它們為什么會有相同的方法和思路？

同樣，在教學第（2）小題的時候，同樣啟發學生這樣思考、解答、比較。

最后引導學生比較、總結：這里的四道題其實就是兩類題，盡管每一類題目表述的內容和數量不一樣，但它們在解題思路和解題方法上都是相同的。這就提醒我們，在解決問題的時候，我們先想想它是屬于哪一類的問題，再按照相應的思路和方法去解答。

數學是使人聰明的學科，模式識別是使人變得聰明的靈丹妙藥。上面的教學，教師不只是帶著學生解答四道題，而是在前兩題的基礎上，引導學生先思考要解決的這個問題與剛解決的哪一題在解題方法和思路上相同，這個思考、比較的過程就是模式識別的過程。正確識別了模式，比解答幾十道題都有價值。因為模式是簡單的，問題是豐富的，在以簡馭豐的過程中學生識別模式經驗將逐步形成。

篇6

關鍵詞：小學計算教學；算理；算法；強化練習

當我們碰到一節計算課的時候，我們該從哪些方面進行思考？根據每個人的教學經驗和水平不同，每個人思考的角度都會有所不同。下面結合自己的教學實踐談一些粗淺的思考。

一、算理的強調是必須的，但算法的指導不可缺少

我們應在計算教學中使學生在理解算理的基礎上，建立“運算”意識，自主發現計算法則，在算理直觀與算法抽象之間架設一座橋梁。如，教學一位數乘兩位數進位乘法24×3的過程中，學生在教師的引導下經歷了擺小棒的過程，理解了豎式中為什么要向前進位的道理，即：滿十進一和滿幾十進幾的問題。為學生筆算乘法的計算法則奠定了基礎。擺小棒作為理解算理的一種方式，呈現目的是為學生計算法則的運用建立表象，而學生對計算法則的歸納是為以后按照這種特定的規則進行計算，并將這種規則類推到三位數乘多位數、多位數乘多位數，最終形成計算法則。

二、算法多樣化的倡導是應該的，但算法的優化不可缺少

算法多樣化的提出是為了改變只重結果，不講過程，要求在課堂上展示學生的個性化思維，在此基礎上引導學生優化，自主構建數學模型。例如，有一個教學片斷：“師：20+10你能解決嗎？把你怎么想的與同桌交流一下，不會的可以用小棒。生1：把20當作2，把10當作1，2+1=3，所以20+10=30。生2：20+10=30，30-10=20。師：有沒有小朋友是擺小棒的？生：沒有。師：誰愿意帶著你的小棒擺給小朋友們看看？（指名一生操作演示）師：還有其他方法嗎？生：10+20=30。師：10+20=30你是怎么算的？生：用小棒擺。師：還有其他方法嗎？學生搖頭。師：你們看看20里面有2個10，10里面有一個10，2個10加1個10等于3個10。”教師在課堂上也竭力體現算法的多樣化，不停地問：“你還有其他方法嗎？”“有沒有用小棒擺出來的？”結果學生不知從哪個角度去尋找老師需要的答案，學生的學習熱情在教師的聲聲追問中消殆，課堂出現冷場的尷尬。也有教師反映：像13-9這樣的計算，沒教以前，學生一看到算式就能很快地算出得數，學了多樣化的計算方法后，計算速度反而慢了。

為什么學生想不出來多樣化的計算方法？為什么算法多樣化會出現上述的負效應呢？我想這也許與現在孩子相對良好的學前教育有關。很多學生早已對一年級的簡單計算有所接觸，他們學習的真實起點遠遠高于邏輯起點。從心理學角度來說他們已經從數學建模階段進入了提取數學事實階段。如果學生思維已經進入了高一層次，再一味要去多樣化，就像讓他們從四樓回到二樓，這不應該是我們所需要的課堂教學。

三、強化訓練意識，優化訓練方法

1.加強口算訓練

口算是筆算的基礎，是訓練思維敏捷性的良好手段。實際生活中的計算問題大部分運用口算解決。口算既是筆算、估算和簡便計算的基礎，也是計算能力的重要組成部分。

每天的數學課堂上，教師要舍得拿出時間進行口算練習，持之以恒，常抓不懈，每天練的數量和類型教師要心中有數，由少到多，由易到難，由慢到快。做到有目的、有計劃、有步驟地進行，基礎性內容的口算十分重要，它是其他計算的基礎。

2.培養學生簡算意識，加強簡算技能訓練

在計算題教學中必須重視簡便運算，注重簡便\算靈活的思路學習，正確理解簡便運算的含義，合理進行簡便運算，使學生思維能力得到提高。

3.加強記憶訓練

有些數在試題中出現的次數特別多，它們常常是進行快算的基礎，如果每次都要動筆計算，既麻煩，又易出錯，對于這些數要求師生要熟記。實踐表明：如果學生能熟記一些常用數據，在四則運算中，則能較好地掌握解題的方法，使學生能更準確、快速而靈活地計算。

4.加強糾錯訓練

學生計算隨時會出錯，教師要適時適當地把這些錯解抄在黑板上，組織學生找準錯因，并及時糾正。對這些易錯的地方，教師必須花大力氣，給學生講清算理和算法。我們可以建立錯題庫，設計各種易錯題，讓學生進行針對性練習，以進一步鞏固新知。

5.加強訓練形式的變化

機械重復，學生會感到枯燥乏味，針對班內學生水平參差不齊的情況，對練習可進行開放性設計，分別設計幾個層次的練習，讓學生根據自己的水平和愛好選擇適合自己的作業，讓學生享受到成功的樂趣。

提高學生的計算能力不是一朝一夕的事，但只要我們教學得法，堅持訓練，學生攻克計算關的日子一定為期不遠。

參考文獻：

篇7

關鍵詞：測試準則；EM算法；測試用例復雜性；軟件可靠性模型

中圖分類號： TP311

文獻標識碼：A

0引言

隨著軟件應用的日益廣泛及重要性的不斷增強，人們對軟件質量的要求也越來越高。可靠性作為衡量軟件質量的重要特性，其定量評估和預測已成為人們關注和研究的焦點。軟件可靠性模型作為可靠性評測的核心和關鍵，可用于軟件生命周期的不同階段，定量地估計和預測軟件可靠。一個好的可靠性模型可以準確評估和預測軟件可靠，這對于軟件資源分配、軟件市場決策有著重要的意義。オ

軟件可靠性模型這一領域的研究在 20 世紀 70 年代獲得較大發展后，很多可靠性模型已經投入使用。可以說，軟件可靠性模型已從研究階段發展到了工程階段。但是，面對軟件自身及其開發過程日益復雜的情形，它仍然呈現出其自身的不足。 首先，在軟件可靠性建模方面，傳統的軟件可靠性模型主要是從時間域和輸入域兩個方面來考慮軟件缺陷發生的概率或缺陷總數，很少從缺陷自身的因素論述；其次，在軟件可靠性建模過程中，基本上是根據測試結果直接來推導模型，很少關注軟件測試的設計過程；最后，在適應性方面也存在著一定的缺陷。

鑒于此，要想建立比較適用的軟件可靠性模型，必須改變傳統可靠性建模思路，采用新的觀點、方法和新的數學工具來研究軟件故障過程。論文將測試用例的設計融入到軟件可靠性建模過程中去，在充分考慮軟件缺陷影響因子和復雜性等因素基礎上，采取合適的數學處理方法構建出一個基于測試用例的軟件可靠性模型，并結合EM算法對該模型的可靠性作了驗證。該模型不但考慮了失效出現的概率，還考慮了失效后可能產生后果的嚴重性。

論文主要工作如下：(1)根據等價類、邊界值等方法來設計測試用例模型；(2)在一定假設的基礎上，通過觀測數據推導出測試用例的可靠性并得出相應的軟件可靠性；(3)利用EM算法對軟件可靠性進行相應的檢驗。

1測試用例模型的構建

測試用例的設計是軟件測試過程中最為關鍵的一個環節，一個軟件測試成功與否與其測試用例設計成功與否有很大的關系。所謂測試用例，也就是為特定目標開發的測試輸入、執行條件和預期結果的集合。也可以說是對軟件運行過程中所有可能存在的目標、運動、行動、環境和結果的描述，這些特定目標可以是驗證一個特定的程序路徑或核實是否符合特定需求。而測試活動要建立必要的前提條件，提供測試用例輸入、觀察輸出，然后將這些輸入和輸出進行比較，以確定測試是否通過測試某個程序路徑或何時滿足軟件規定的要求。簡言之，測試用例就是設定輸入數據，運行被測試函數，然后判斷實際輸出是否符合預期結果。

通常造成軟件缺陷的主要原因有：(1)軟件設計文檔規范不一；(2)測試用例設計過程中引入了人為的錯誤；(3)測試執行后，復雜的決策條件、循環和分支的覆蓋率目標并沒有達到等。而一個完整的測試應該包含正面測試（Positive Testing,PT）和負面測試（Negative Testing,NT）。正面測試是驗證程序應該執行的工作，而負面測試是驗證程序不應該執行的工作。只有面面俱到，才能保證測試的充分性。要想保證測試用例設計質量，必須遵循四個原則：(1)測試準則，每個測試用例應當有一組有限可枚舉的待測目標的判定準則；(2)測試用例輸入域的劃分和輸入點集的提取；(3)測試目標的復雜性問題，應盡量化復雜為簡單；(4)對測試用例進行測試的力度，就是在特定輸入條件下進行測試的細分程度和測試的次數。在黑盒測試中，不可能采取窮舉式測試。只能選取輸入域中有代表性樣本點來運行程序，然后通過程序運行的結果（成功率或失效率）來推斷出軟件可靠性。綜上可知，一個好的測試用例既要有完善的輸入域也要有代表性的輸入點集。

輸入域主要來源于需求規格說明、程序觀察和額外的屬性規約。假設D表示輸入域，S表示規格說明，P表示程序觀察，T表示額外的屬性規約。則輸入域可表示為：D=S∪P∪T。其中額外的屬性規約主要是指規格說明中沒有但滿足負面測試或可能用到的那部分數據。

輸入點的選取對軟件測試來說也是至關重要的，為了確保輸入點集選取的客觀性，特采取有選擇性隨機輸入的方法。其大體過程分為兩步：

1) 提取測試用例的邊界值點，構成集合T1;

2) 在每個相鄰邊界點中選取n個點進行測試，其中選取測試點個數由測試人員根據具體情況而定，關于相鄰邊界值點間測試點的選取通過高斯隨機函數產生。即：

其中ij表示輸入點，n表示選擇點的個數，σ表示所選取點的方差，Id表示所選取點。

根據上式所得到的Id構成了集合T2。則測試用例的輸入域D=T1∪T2。根據邊界值和等價類相結合的方法將輸入域化分成L個子區域。即D=(D1,D2,…，DL)。

2測試用例可靠性評估

2.1基本概念

軟件可靠性模型通常分為三種：時間域可靠性模型、輸入域可靠性模型和混合可靠性模型。實際上，軟件黑盒測試的過程是從輸入域著手，反復有選擇性地隨機抽取輸入點集，通過觀察其輸入和輸出之間的映射關系得出其可靠性。下面給出一些測試過程中常用到的概念和度量。

定義1測試準則：測試準則是關于一組有限可枚舉的待測試目標（待測試的軟件部分）的判定規則，如果測試通過了判定規則的判定，則認為達到了測試準則，否則就沒有。假設i表示輸入數據，且i∈D，output表示輸出數據，也就是說如果輸入數據i滿足output=f(i)(i∈D)，就認為達到了判定準則，否則就沒有。

定義2測試子域：把測試用例的輸入域D按照上述二個步驟劃分成L個互不相交的子域D1,D2,…，DL，即D=D1∪D2∪…∪DL，且Di∩Dj=(i≠j且i,j=1,2,…,L),則Di稱為測試子域。

定義3測試可靠性因子：為了更好的判斷輸入和輸出是否滿足映射關系，特此引入功能性可靠因子c，其中c=1或c=0。當c=1時，表示輸入和輸出符合其映射關系；當c=0時，表示輸入和輸出不滿足其映射關系。

定義4缺陷影響因子：不同的缺陷對軟件可靠性的影響不一樣。通常測試人員將缺陷分為如下幾個級別：致命、嚴重、一般、輕微、建議。對應不同的級別應給予相應權重來描述它，以表示它對測試結果的影響。其中缺陷影響因子用γi表示，這里i=5，表示5個級別。根據經驗可設γ=(10,5,2,1,0.5)。

軟件就好比一輛汽車，不同的缺陷、故障（缺陷因子不同）會產生不同的結果，就像座位和車剎的故障一樣，同樣是缺陷，但產生的結果不同。作為軟件的可靠性來說，應該把缺陷因子考慮到其中，這樣才能更好地度量和評價軟件可靠性。

假設輸入i產生缺陷的概率為P(i)，其中i∈D，根據定義3可將c表示為i的函數c(i)，它滿足c(i)=1或c(i)=0，根據定義4可將缺陷影響因子γ表示為i的函數γ(i)。則測試用例的可靠性可用(1)式表示：

2.2測試用例的可靠性評估

在軟件測試可靠性評估領域，所有的結果都是在一定假設條件下產生的，不論是JM模型、Musa模型或者NHPP模型，都是在一定的假設基礎上進行的。

根據等價類原理可知測試向量所產生的缺陷在各個子域內出現的概率是均等的。同時，軟件的復雜性在觀測數據矩陣中也得到了很好的體現。根據等價類原理，可以計算出相應的可靠性模型。

推論1對任意一功能點進行一次有選擇性的隨機測試，其可靠度可表示為：

其中γi表示第i個缺陷影響因子，c/ij表示觀測結果。

證明假設對任意一個功能向量F進行測試，其輸入點集為：

根據其映射規則，通過定義3可以得出一組相應的矩陣C。它可表示為式(2)。

根據定義4可知每組輸入可能產生5種等級的缺陷，而每種等級的缺陷對軟件可靠度造成的影響是不一樣的，因此可把矩陣C分解成一個新矩陣C/，C/中包含了5種缺陷影響因子的信息。由于論文主要是計算軟件的可靠性，在定義3中已規定當輸入和輸出滿足映射關系時，c取1，否則取0。所以C/表示式(3)。

根據矩陣C/和(1)式可以得出軟件無缺陷運行的概率如(4)式所示。

根據(4)式可推知缺陷影響因子為γi的發生概率Pγ為：Pγ=1－PFi，從而可計算出軟件可靠度RFi如式(5)所示：

推論2測試用例在無缺陷下運行的概率為：

證明測試向量F1,F2,…,Fn相互獨立， 則可推出測試用例F的可靠度為各個測試向量可靠度的交集，表示為(7):

據推論1知測試用例的可靠度Rc=∏ni=1RFi， 從而可得出測試用例在無缺陷下運行的概率為

3軟件可靠性評估

3.1最大概率的EM算法

在文獻［5］中論述了EM算法在假設檢驗中的應用，本文將該方法引申到軟件測試可靠性評估計算上。

假設輸入點集為I，通過輸入和輸出的映射函數關系，觀測到I服從概率分布Pd(I)， Id。隨機變量I只是觀測數據的一部分，假設A表示與I有關的隨機事件，即A={R(I)>Rα}，R(I)表示通過隨機輸入I觀測到的似然統計量，Rα表示測試人員的期望值，且Rα∈［0,1］。這里所要求的是最大概率sup{Pd(A):d∈D0}，這里D0是D的子集。在假設檢驗中，最大概率可以是真實的檢驗水平，也可以是犯第1類或第2類錯誤的概率。

EM算法是用來求解似然函數最大值點的工具，所以，如果能夠將概率Pd(A)看成似然函數的值，則可以利用EM算法得到最大概率sup{Pd(A):d∈D0}。

EM算法的基本步驟：

設f(y|d)是Y的概率函數。從一個初始點d∈D開始，則尋找sup{Pd(A):d∈D0}的算法由下面的兩步迭代而成(t=0,1,…)：

E步：給定現在的值d(t)后，對未知的對數似然函數l(d|Y)=log f(Y|d)求條件期望：

M步：最大化函數Q(d|d(t))，求取最大值點d(t+1)作為下一步迭代的值，即使得：

3.2基于測試用例的軟件可靠度檢驗

軟件測試是一個反復測試的過程，一個測試軟件包含多個測試用例，各個測試用例之間的關系是相互獨立的，假設測試軟件P包括m個測試用例，并且對該軟件進行了k次測試，根據推論2可計算出一個關于測試用例的觀測數據矩陣R如(8)式所示：

其中Rij表示對第i個測試用例進行第j次測試所得到的結果。其中經過k次測試后，每個測試用例的可靠度可以取其算術平均值作為最后結果，其結果可表示為式(9)。

根據(8)、(9)式可推導出測試軟件P的最終矩陣表達式為式(10)：

下面利用R={R(c)1,…,R(c)m}對軟件可靠度RP進行檢驗。檢驗的問題是：

這里的RP表示測試員或者軟件使用者對軟件可靠度的期望值，如果測試軟件可靠度大于該期望值，則認為測試軟件的可靠度達到要求，否則，認為沒達到要求。根據式(8)可推出軟件的可靠度的極大似然估計為式(11)。

對于給定的檢驗水平α，假設A={R^p>Rα}，通常的檢驗方法應該選取R盡可能的小，對給定的水平α，其中臨界值Rα可以表示為式(12)。

通過上文分析，可得出RP的對數似然函數為式(13)。

其中，c是一個與Rij無關的常數且c=－m log k。

給定(R1,…,Rm)的一個初值(R(0)1,…,R(0)m)，則在已知l步迭代后，EM算法的E步是：

EM算法的M步是在RP=R1…Rm=RP下求出Q(R1,…,Rm,R(l)1,…,R(l)m)關于(R1,…,Rm)的最大值。其中可以利用Lagrange乘子法得到最大值點為R(l)ij=R(l)ij+λ,其中λ是方程∏mi=1∑kj=1(R(l)ij+λ)=RP的解。

這樣可得到一個序列{(R(l)1,…,R(l)m),l=1,2,…}。根據EM算法的一般原則，這個序列使得R(l)P{R^P>R}是單調不減的。如果初值選得適當，則方程也收斂得較快。

4試驗模擬

軟件可靠性模型主要是改進軟件開發過程和軟件可靠性的度量。基于測試用例的軟件可靠性評估模型是根據在在改善測試用例設計過程中通過對失效數據進行建模,并且通過EM算法來求其最小置信下限，真實地描述了軟件失效特征，理論上具有較高的預計精度和較好的適用性。

4.1測試用例可靠度計算

下面給出一個有關登錄原為：登陸系統的測試用例試驗數據，該用例包括3個測試向量，即，Fc={F1,F2,F3}，根據定義4將其按照缺陷等級分成5個類別，其相關測試數據見表1。

缺陷因子對軟件本身的影響的情況下可計算出功能向量的可靠度RF=［0.9415,0.9658,0.962］和測試用例的可靠度Rc=0.9564。從測試結果來說，用戶和測試人員更容易接受包含缺陷影響因子的測試結果。

4.2適用性評價

本文所給出的軟件可靠性評估模型是基于數據域的基礎上提出的，而Nelson模型是數據域軟件可靠模型的代表。文章通過對上述登錄原為：登陸系統的模擬，得出了一組關于Nelson模型、傳統算法和基于測試用例模型的試驗數據（本文所提出的模型用TC模型表示）。

篇8

（1）需要較好的數學演算推理能力。例如概率論、傅立葉變換、卷積等數學知識在通信系統的理論推導中會頻繁的使用。

（2）需要較好的邏輯思維能力。通信理論較為抽象，學生很難把簡單的建模框圖與實際通信系統中的設備聯系起來。

（3）需要良好的綜合分析能力。“現代通信技術”課程中知識體系結構復雜，綜合性強，學生不容易抓住重點、難點，難以理清頭緒。

比如“數字基帶傳輸系統”與“數字頻帶傳輸系統”和“數字信號復用系統”的知識點都有著緊密聯系。但是，高職高專學生數學基礎普遍較弱，自學能力不強，課程知識在短時間內難以理解和消化，學生在學習過程中有著較大的難度。所以，根據“現代通信技術”課程的分析以及高職高專學生特點，在授課過程中對課程教學內容的取舍、教學方法的設計以及實驗內容的選擇與設計都作出了相應的調整，同時增加了仿真技術。

1“現代通信技術”理論教學教育改革

（1）教學內容的選擇

“現代通信技術”課程主要介紹的是通信系統的組成、工作原理、實現過程和分析方法，但是模擬通信系統中的調幅、調頻和調相的調制和解調技術在“高頻電子線路”課程中已講過，因此“現代通信技術”課程在教學內容上以數字通信原理為主，同時還要兼顧現有的先進的數字通信系統，如移動3G系統、移動4G系統等。

（2）教學方法的設計

“現代通信技術”的傳統教學方法都是逐一介紹通信系統中各個關鍵技術的數學模型和原理，由于理論抽象、知識點零散，使學生學習起來很難有系統的概念，更不易將簡單的系統框圖與實際通信系統聯系起來。所以在教學方法上采用了“以線帶點”的改革思路對教學內容進行設計，即以數字通信系統的模型圖作為學習的總線路圖，圖中方框為“點”，有向線段為“線”，如圖1所示。在授課時始終以通信系統的模型圖為基礎，以圖中的節點涉及的典型技術理論分析為重點，以信號的傳輸流程為主線，以線帶點，使學生掌握通信系統的綜合分析方法。首先，講解通信技術的實現過程不應求全求深，而是幫助學生建立數字通信技術的知識體系從而激發學生的學習興趣，再系統闡述數字通信技術中信源編碼模塊、信道編碼模塊、傳輸模塊（基帶傳輸與頻帶傳輸）和同步模塊等核心技術節點的說明以及每個節點在教材中的章節分配。其次，根據信號線的傳輸方向，對每個節點進行功能分析，例如，在調制器和解調器節點中應重點講解數字調制技術2ASK、2FSK、2PSK、2DPSK的調制、解調、帶寬分析、波形分析和抗噪聲分析等內容，避免復雜的數學推導，要求學生掌握該節點基本理論、關鍵性能和指標以及分析方法。最后，教師應重點說明各節點存在的必要性以及前后節點之間的邏輯關系，讓學生建立數字通信系統的整體概念，同時將簡單的系統框圖與實際通信系統聯系數字通信系統模型圖起來。

（3）引入SystemView仿真軟件

SystemView仿真軟件是用于各種線性或非線性控制系統的設計和仿真軟件。“現代通信技術”的知識體系概念抽象，很多知識點單純用口述很難直觀的表達清楚，因此采用SystemView計算機仿真技術來進行系統分析和設計能夠幫助學生更好理解知識點。在授課時將一些抽象難懂的知識點的仿真結果利用多媒體投影出來，使課堂教學更加形象化，讓學生對知識點的理解更加清楚。比如在講解AM調幅輸出波形在改變調制指數的仿真波形時，如圖2所示，教師通過調節參數來改變調制指數，學生能夠很直觀的觀察到調制指數的改變對輸出波形的影響。

2“現代通信技術”實驗教學教育改革

目前實驗教學中大多是對已知原理進行驗證的實驗，學生按照實驗指導書上的實驗步驟在實驗箱上測試已預留好的測試點的數據、波形，然后根據實驗結果寫出實驗報告。這種實驗過程學生根本不考慮實驗的基本原理和出現錯誤結果的原因，學生往往是動手多、動腦少，甚至在沒弄懂電路原理的情況下進行測試并寫出實驗報告，因此有必要對實驗教學內容和方法進行改革。首先，對實驗指導書進行修改，其中弱化復雜的計算，只需將各個模塊的功能詳細說明，引導學生能自主地對所做的實驗內容的原理進行分析，并抽象出系統的框圖，再利用模塊連接實現功能。其次，在實驗中要求學生自行給定輸入數據，比如HDB3的編譯碼，學生則自己隨機給出編碼的碼型，并通過實驗來驗證輸出的碼型和自己在課堂所學的編碼規律是否一致。同時，當學生實驗過程出現問題時，教師應引導他們分析問題的原因并按照“從后往前”的方式查找故障點，而不是簡單地給出問題的解決方法，通過這種方法實質的提高學生分析問題和解決問題的能力。最后，將軟件仿真引入到實驗教學當中并與硬件實驗相結合。在做硬件實驗之前要求學生應做好SystemView的仿真，然后將仿真結果在硬件實驗實現，這種軟件仿真和實驗驗證同步進行的方式使學生的實驗興趣和動手能力明顯提高，讓學生更加深入理解通信系統的工作原理，同時對理論學習也起到了輔助的作用。

3總結

篇9

教學對象：小學二年級學生

教學目標：

知識與技能：了解“雞兔同籠”問題，掌握畫畫數數的解法及其升華——假設法，并能用來解決生活中簡單的該類問題。

過程與方法：掌握將畫畫數數解法抽象升華到假設法的過程，培養初步的抽象邏輯思維能力、符號和數學建模意識，滲透對應思想、優化思想。

情感與價值：獲得解決問題的成功體驗，提高學習數學的興趣和自信心；了解有關的數學史，增強民族自豪感；體會“雞兔同籠”問題的應用價值。

教學重點與難點：將畫畫數數的解題方法抽象升華為假設法及模型的過程。

教學準備：多媒體課件、白紙等

教學過程：

一、觀察提煉，做好鋪墊

師：同學們，你們喜歡小雞和小兔嗎？

生：喜歡。

師（放錄像）：我們先放一段有小雞和小兔的錄像，同學們觀察一下一只雞和一只兔子各有幾個頭、幾個身子、幾條腿，一樣多嗎？

生1：一只雞有一個頭，一個身子，兩條腿；一只兔有一個頭，一個身子，四條腿；一只兔比一只雞多兩條腿。

師：很好！可雞和兔子的腿長在哪里呢？

生1：長在身子上。

師：雞和兔的身子都像什么圖形？

生1：扁圓形。

師：同學們觀察得很仔細。雞和兔的身子有相似性，都接近于扁圓（橢圓）形，也就是這種 形狀。

【評析：引導學生對雞兔的頭、身子、腿的數量及對應關系進行觀察，提煉出身子的形狀，為后面畫身子、畫腿做了鋪墊。這有別于大多數教學設計“用圓或橢圓表示頭，在頭上畫腿”的不合情理的教學設計。】

二、創設情境，導入新課

師（課件展示）：一天傍晚，小明去王阿姨家串門，發現阿姨把養的雞和兔關進了一個籠子里。他就問：“為啥關在一個籠子里？”阿姨說：“家里只有這一個籠子，晚上把它們關在一個籠子里睡覺好管理。”小明又問：“您養了多少只雞，多少只兔？”阿姨說：“籠子里的雞和兔共有8個頭，20條腿，你就自己算算吧。”“啊！這也需要數學？”

師：是啊！生活中到處都要用到數學。為了方便，我們先結合這個問題產生的背景給它起個名字，然后幫幫小明吧。

生2：叫“籠子里的雞兔問題”。

生3：名字太長，也沒說明是同一個籠子。叫“雞兔同籠”吧。

師：同學們真善于動腦筋。我國古代的勞動人民早就給它起了“雞兔同籠”問題這個名字，既簡短，又能反映其產生的背景。這節課，我們就來探討這個問題。（板書課題：雞兔同籠問題）

【評析：教者從創設生活情景入手，既體現了數學與生活的密切聯系，又使問題的引出水到渠成。】

三、誘導啟發，主動探索

師：同學們都喜歡畫畫，看看能不能用畫畫數數的辦法來解決這個問題呢？當然，沒有必要像美術課那樣去畫，只要簡單地畫出來，能體現題目中雞和兔子的有關數量關系就行。可不知道各有幾只，畫多少個雞頭、兔頭好呢？頭的差異又比較大，難畫，畫錯了改的時候也麻煩。怎么畫好呢？

生4：一個頭對應一個身子，身子都是扁圓形，先畫身子，再畫腿，確定了雞和兔后再畫頭。

師：同學們真善于動腦筋。那就用 表示身子，用一道豎杠“|”表示一條腿試試吧。少畫了補上好辦，多畫了擦掉麻煩，不多畫當然最好。

（教師巡視，以便選擇不同畫法的學生回答）

師：我看到同學們都畫完了，也都畫對了，而且畫法好多啊！有的先全畫成雞；有的先全畫成兔；有的先畫2只雞，再畫6只兔；有的先畫5只雞，再畫3只兔；有的先畫4只雞，再畫4只兔；有的按一只雞一只兔的順序畫；有的按兩只雞兩只兔的順序畫；等等。結果都是——

生（齊答）：6只雞，2只兔。

師：由于時間關系，老師下面請三位同學把畫的過程說出來。

生5：我先畫了8個身子，再在身子下畫腿。考慮到多畫了還得擦掉，就把它們當雞來畫，在每個身子下畫2條腿，數一數畫了16條腿，比實際的20條腿少4條腿，需添上4條腿。一只兔比一只雞多兩條腿，畫的每只雞上添2條腿就改成兔，4條腿添到了兩只雞上，所以兔有2只，雞有6只。

師：這個同學很善于動腦，思路很清晰，表述得也很好。

生6：我也先畫了8個身子，再在身子下畫腿。我估計雞應該多，就先在5個身子下畫2條腿當雞，在3個身子下畫4條腿當兔，數一數畫了22條腿，比20條腿多2條腿，就把畫4條腿的一個身子擦掉了2條腿改成雞，所以兔2只，雞6只。

師：這個同學首先進行了估計，思路也很清晰，值得我們學習。

生7：我也先畫了8個身子，再在身子下畫腿。我喜歡兔，就先在每個身子下畫4條腿當兔，數一數畫了32條腿，比20條腿多12條腿，就每個擦去2條腿改成雞，擦到第6個時就一共擦去了12條腿，所以6只雞，2只兔。可惜我喜歡的兔太少了。

師：這個同學從喜歡的角度出發開始畫，思路也很清晰，表述也很好。老師也給出了多種畫法，就包含這三位同學的畫法。同學們比較一下這三種畫法，哪種最簡單呢？（展示課件，讓學生瀏覽）

生8：第一種畫法簡單，沒多畫腿，省了擦的工夫。

師：以后我們解題時，既要善于探討不同的方法，又要比較哪個方法更好，爭取掌握最好的方法。

【評析：不同畫法的展示及優劣比較，既培養了學生的發散思維能力，又滲透了數學優化思想。尤其是讓學生把畫的過程用語言表述出來，實際上是解決問題思維過程的展現，有利于學生思維的清晰化、條理化、系統化，以及方法的內化和語言表達能力的培養。】

四、抽象提煉，思維升華

師：既然大家都認為第一種畫法簡單，我們一起把這種畫畫數數的過程邊說邊用算式來表示一下。

師（課件展示過程）：把8個身子當雞來畫，在每個身子下畫2條腿，數一數畫了16條腿，可以列成——

生9：2×8=16（條）腿。

師：比實際的20條腿少4條腿，可以列成——

生10：20-16=4（條）腿。

師：一只兔比一只雞多兩條腿，可以列成——

生11：4-2=2（條）腿。

師：畫的每只雞上添2條腿就改成兔，4條腿添到了2 只雞上，所以兔有2只，雞有6只。可以列成——

生12：4÷2=2（只）兔，8-2=6（只）雞。

師：同學們真棒！寫出畫的過程太麻煩，我們把能用式子表示的語言替換下來，寫成下面的解法。

解：全當做雞，有2×8=16（條）腿，比實際少20-16=4（條）腿。一只兔比一只雞多4-2=2（條）腿，兔有4÷2=2（只），雞有8-2=6（只）。

答：有6只雞，2只兔。

師：同學們看，簡單吧？

生：簡單。

師：以后我們再解這類問題就沒有必要真的去畫，只要在自己大腦里展現畫的過程，邊說邊寫就行了。

【評析：首先，教者不厭其煩地引導學生從畫法中提煉、抽象算式的做法有著重要的意義。這種把漢語語言轉化為數學語言過程的展現，有利于學生掌握轉化的方法，為升入高年級解數學應用題奠定了基礎。因為，解應用題的實質就是實現這兩種語言的轉化。同時，也有利于學生的認知由具體運算階段向形式運算階段過渡，由具體形象思維向抽象邏輯思維發展。

其次，教者在畫畫數數方法的基礎上進行提煉、升華，呈現出了用假設法解決雞兔同籠問題的解題過程。這一渾然天成的處理方式，既抓住了兩種方法之間的聯系，又展現了假設法的實質就是畫畫數數解決問題的這一學前兒童都能掌握的方法，實現了兩種方法的統一，有利于學生掌握。另外，假設法出而不點的處理方法還是很有新意的，既避免了不同方法的羅列，又避免了學生產生新的疑惑。】

師：同學們能仿照著老師寫解法的過程，把第二和第三種畫畫數數的過程，邊說邊寫嗎？（課件展示畫法及畫圖過程）

（教師巡視指導，讓兩個學生板演）

生13：寫第二種。

解：5只當做雞，3只當做兔，共有2×5+4×3=22（條）腿，比實際多22-20=2（條）腿。一只兔比一只雞多4-2=2（條）腿，所以多了2÷2=1（只）兔，兔有3-1=2（只），雞有8-2=6（只）。

答：有6只雞，2只兔。

生14：寫第三種。

解：全當做兔，有4×8=32（條）腿，比實際多32-20=12（條）腿。一只兔比一只雞多4-2=2（條）腿，雞有12÷2=6（只），兔有8-6=2（只）。

答：有6只雞，2只兔。

師：同學們都寫得很好（課件展示這兩個解法）。大家都掌握這個問題的解法了嗎？

生（齊聲答）：掌握了。

【評析：教者首先示范，再讓學生去抽象、提煉解法，既發揮了低年級學生模仿性強的優勢，又可促進學生抽象邏輯思維的發展。尤其是三種不同假設法的展現，打破了大多數書籍、教學論文中只假設全是雞或全是兔的做法。事實上，若雞和兔共有n個頭，可以假設有m（0≤m≤n）只雞（兔）來解答。】

五、鞏固拓展，建立模型

師：前面說過，我國古代的勞動人民早就提出了雞兔同籠問題。大約在1500年前，數學著作《孫子算經》中就有一個這樣的問題。（課件展示）“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”

師：雉就是雞，足就是腳，幾何是指多少。用現代話來說是“現在有若干只雞和兔在一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳，問雞兔各有幾只？”

師：同學們幫古人解決這個問題好嗎？要邊在大腦里畫，邊說邊寫解法。

（學生獨立練習，小組交流自己的解法）

師：《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題還漂洋過海傳到了世界上很多國家，如日本、俄羅斯等。人們又仿照它編出了“龜鶴問題”、“人狗問題”等，這說明了它具有重要的價值。其實，“雞兔同籠”問題不是一個題，而是一類問題，畫畫數數的解題過程可作為一個模型用來解決很多類似的問題。

師（課件展示）：這個問題就屬于“雞兔同籠”類問題。老師買了兩種不同的圓珠筆共16支，一種每支3元，另一種每支5元，共花了62元。問兩種圓珠筆各買了多少支？

生15：這里沒有雞和兔啊？

師：不要緊啊，我們可以把每支3元的圓珠筆當成“1個頭，3條腿”的“怪雞”，把每支5元的圓珠筆當成“1個頭，5條腿”的“怪兔”。這樣，16支變成了什么？62元變成了什么？

生16：16支變成了16個頭，62元變成了62條腿。真有意思！

師：那就在大腦里想象畫畫數數的過程，邊說邊寫，把解法寫出來吧。可要靈活啊！

生17：全當做是3元的圓珠筆共花3×16=48（元），比實際少62-48=14（元）。1支5元的圓珠筆比1支3元的圓珠筆多花5-3=2（元），所以5元的圓珠筆有14÷2=7（支），3元的圓珠筆有16-7=9（支）。3元的圓珠筆有9支，5元的圓珠筆有7支。

師：大部分同學解的都很好，只是個別同學把圓珠筆真的寫成了“怪雞”、“怪兔”。我們說可以當做 “怪雞”與“怪兔”，但不要機械地往上套啊！

【評析：教者通過對有關史料的介紹，在傳承我國古代數學文化的同時，也使學生體會到我國文化的博大精深，有利于學生民族自豪感的培養。另外，讓學生感受問題的變式，使其解法成為解決這類問題的模型，既滲透了建模思想，又有利于學生的靈活應用。】

六、課堂小結

師：今天我們學習了什么內容？你有什么收獲？

生18：學習了“雞兔同籠”問題，會解這類問題了。

師：這類問題難不難？

生：不難。

師：這可是五六年級的哥哥姐姐們才學的呀！

生：啊！

師：這說明只要我們勤動手、勤動腦，數學一點都不難。也說明同學們真棒（伸大拇指）！最后請同學們在大腦里再畫一遍，嘴里默默地把過程再說一遍好嗎？

生：好！

【評析：通過回顧總結，讓學生對知識進行梳理，再次鞏固和內化了解“雞兔同籠”問題的數學模型。最后揭示該問題是五六年級所學知識，使學生樹立了信心，培養了學生的自豪感。】

七、課后作業（略）

總評：“雞兔同籠”問題是我國廣為流傳的有名的古算題。由于解決這個問題的思 維含量高，人們常常拿它來考察一個人的智力狀況，也成了小學高年級奧數的經典題型，現已進入小學五六年級的數學教材。因此，讓二年級的學生掌握這類問題的解法，是一具有挑戰性的教學任務。當我的學生劉慧進行課外實踐，提出想給二年級學生講這堂課時，我為她捏了一把汗。沒想到的是，她的教學設計取得了很好的教學效果，不僅深受學生歡迎，還得到了任課教師的好評。總之，這是一堂出色的課，除了穿插的評析外，再指出以下幾點。

1.符合學生的認知和思維發展水平是本節課成功的關鍵

教學從畫畫數數入手，抽象與提煉解法時要求學生腦子里想象畫法、邊說邊寫，以及解法用語言與式子混合寫出，沒有只用算術表達式（含綜合算式）等，均符合二年級學生的認知發展與思維發展水平。

2.引導到位，放收合理

本節課教師的引導與學生的自主探究結合得比較好，教師始終有效地掌控教學，沒有大撒把，避免了自主探究流于熱熱鬧鬧的形式。

篇10

一、創設學習興趣，激發思維

心理學告訴我們學生的思維是后天培養和訓練的結果。人們的思維在解決具體問題時才會積極起來。因為在日常的教學活動中，要創設教學情境，除了為學生設置“疑問”或者用變換的例題教學辦法外，還可以組織學生對某一個問題進行爭論來激發學生學習興趣，進而發揮學生探索總是的積極性，引導學生裝進行正確的思維。如，在教比的基本性質時，我提出“比的前項和后項都乘以或者除以相同數，比值不變。”讓學生判斷，當總是提出后，有一位學生裝回答說：這是正確，因為比與除法的關系中，比的前項相當于除法中的被除數，后項相當于除法中的除數。根據商不變性質。“當這個學生發言完畢。這時我沒有表態，就請另一位給予糾正，當說出商不變性質中的“0”除外，比值不變。

二、正確處理知識遷移關系，啟發思維

知識遷移現象是學生認識結構的形成和發展的自然產物。在教學過程中若能做到正確的遷移，就可以促進學生認識結構的形成和發展。如果無目的、不正確的遷移就會導致學生認識的誤區。因此，我們教師要有意識地引導學生兢的遷移活動。比如：比的基本性質與分數的基本性質，除法中商不變規律是相通的。在教學比的基本性質時，就可以引導學生說出比與分數、除法的關系，溝通比與分數、除法的聯系。促進學生的知識遷移活動，將商不變規律、分數的基本性質遷移到比的基本性質。從而使用權學生形成對新知識的認識結果。國一方面，還可以引導學生走進負遷移誤區，防患未然，促進認識知識結構朝著健康方向發展。比如，教學分數除法時，學生容易將附和 號改乘號，而沒有把除數倒數。這時可引導學生辨析其結果，把商乘以除數不等于被除數，說明了計算錯誤，從而引起學生對分數除法要把除數這個重要性的認識，強化了分數除法的法則一認識結構形成。

三、鼓勵學生自己釋疑，促進思維

教師在教學中，要盡可能讓學生在親自解決總是的過程中去理解知識，當學生看到自己的勞動獲得成果時，就會產生強烈的興趣和信心，就會促使他們對知識繼續作進一步探索。如，有的學生提出“為什么分數四則運算的結果都要是最簡分數呢？”這個簡單幼稚的問題，說明學生對所學的最簡分數概念還不是很清楚，這個問題就可以讓學生自己來解決。教師可以這樣回答：“那么，現在我們不要求計算的結果是最簡分數，你們來做一做。學生動手做完后，就讓學生說誰結果是正確，其結果各異，不知哪個是對的。最后他們終于明確道理，自己解決了問題。

對平時作業中學生解答的錯誤，我們只要在錯誤處打上針對性的批發符號，不要給錯處直接訂正，然后布置學生獨立思考，想想這個地方為什么是錯的，應該怎樣做才是對的，讓學生自己發現問題自己訂正。總結經驗教訓，對一些難度較大的問題可進行全班性討論，開拓思路，相互溝通知識間的內在聯系，促進思維的靈活性和創造性的發展。

四、在實踐操作中，發展思維

俗話說“百聞不如一見，百見不如一如一做。”在平面幾何教學，必須建立圖形概念，要形成幾何概念就需要教師直觀教具的演示，形象語言的描述，及時的抽象概括；然而由于小學生抽象思維能力差，光靠這些仍然不能過到目的。因此，在學生獲得各種圖形的概念之后要提出具體要求，讓學生作圖或用紙剪圖，拼圖等方法進行操作練習。如把圓沿半徑剪開，分成若干等份，然后用近似的等腰三角形，讓學生拼成近似的平行四邊形或長方形。并讓學生推導圓的面積公式。這樣，在實踐力的提高和養成解題前后觀察、動腦以及合理選擇計算方法后再動筆的良好學習習慣。

五、在實踐練習中，提高思維

知識技能的鞏固要靠練習，靈活精巧的練習能促進思維的提高。目前，廣大教師在教學中采用基本訓練題，一題多變，一題多解，補條件或問題，編題等練習讓學生練習，這時培養學生思維的邏輯性、靈活性等良好品質很有效果。我認為要使學生在練中發展，提高思維可另外選擇練習的內容，還應按學生的認識規律由淺入深，由易到難，分層次，堅持秩序漸進的原則。

總之，通過上述一系列變換形式的練習與多層次的訓練，可以使學生的思維隨著練習加深發展，由于訓練的形式變換，又促進學生的發散思維和集中思維的靈活性。這樣練習，有利于引起學生練習的興趣，提高學生的學習效果，又促進學生的思維發展和提高。 （上接第125頁） 為人民服務的精神。了解掌握與專業相關的歷史文化，發展前景等人文方面的知識。教師具備了良好的素質，并在教學中認真負責，不斷地總結經驗，將會培養出一批批優秀的人才。

三 創造優良的教學環境