數學考后總結范文

導語：如何才能寫好一篇數學考后總結，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公文云整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

數列

第十八講

數列的綜合應用

一、選擇題

1．(2018浙江)已知，，，成等比數列，且．若，則

A．，

B．，

C．，

D．，

2．(2015湖北)設，．若p：成等比數列；q：，則

A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件

B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件

C．p是q的充分必要條件

D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

3．（2014新課標2）等差數列的公差為2，若，，成等比數列，則的前項和=

A．

B．

C．

D．

4．（2014浙江）設函數，，

，記

，則

A．

B．

C．

D．

二、填空題

5．(2018江蘇)已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構成一個數列．記為數列的前項和，則使得成立的的最小值為

．

6．（2015浙江）已知是等差數列，公差不為零．若，，成等比數列，且，則

，

．

7．（2013重慶）已知是等差數列，，公差，為其前項和，若成等比數列，則．

8．（2011江蘇）設，其中成公比為的等比數列，成公差為1的等差數列，則的最小值是________．

三、解答題

9．（2018江蘇）設是首項為，公差為的等差數列，是首項為，公比為的等比數列．

(1)設，若對均成立，求的取值范圍；

(2)若，證明：存在，使得對均成立，并求的取值范圍（用表示）．

10*．（2017浙江）已知數列滿足：，．

證明：當時

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）．

*根據親所在地區選用，新課標地區（文科）不考．

11．（2017江蘇）對于給定的正整數，若數列滿足

對任意正整數總成立，則稱數列是“數列”．

（1）證明：等差數列是“數列”；

（2）若數列既是“數列”，又是“數列”，證明：是等差數列．

12．（2016年四川）已知數列的首項為1，為數列的前項和，，其中，

(Ⅰ)若成等差數列，求數列的通項公式；

(Ⅱ)設雙曲線的離心率為，且，求．

13．（2016年浙江）設數列{}的前項和為.已知=4，=2+1，.

（I）求通項公式；

（II）求數列{}的前項和.

14．(2015重慶)已知等差數列滿足，前3項和．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）設等比數列滿足，，求前項和．

15．（2015天津）已知是各項均為正數的等比數列，是等差數列，且，，．

（Ⅰ）求和的通項公式；

（Ⅱ）設，，求數列的前項和．

16．(2015四川)設數列（=1,2,3…）的前項和滿足，且，+1，成等差數列．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設數列的前項和為，求．

17．（2015湖北）設等差數列的公差為，前項和為，等比數列的公比為，已知，，，．

（Ⅰ）求數列，的通項公式；

（Ⅱ）當時，記=，求數列的前項和．

18．(2014山東）已知等差數列的公差為2，前項和為，且，，成等比數列．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）令=求數列的前項和．

19．（2014浙江）已知數列和滿足．若為等比數列，且

（Ⅰ）求與；

（Ⅱ）設．記數列的前項和為．

（?。┣?；

（ⅱ）求正整數，使得對任意，均有．

20．（2014湖南）已知數列{}滿足

（Ⅰ）若{}是遞增數列，且成等差數列，求的值；

（Ⅱ）若，且{}是遞增數列，{}是遞減數列，求數列{}的通項公式．

21．（2014四川）設等差數列的公差為，點在函數的圖象上（）．

（Ⅰ）若，點在函數的圖象上，求數列的前項和；

（Ⅱ）若，函數的圖象在點處的切線在軸上的截距為，求數列

的前項和．

22．(2014江蘇)設數列的前項和為．若對任意正整數，總存在正整數，使得，則稱是“H數列”．

（Ⅰ）若數列的前n項和(N)，證明:

是“H數列”；

（Ⅱ）設

是等差數列，其首項，公差．若

是“H數列”，求的值；

（Ⅲ）證明：對任意的等差數列，總存在兩個“H數列”和，使得(N)成立．

23．（2013安徽）設數列滿足，，且對任意，函數

，滿足

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）若，求數列的前項和．

24．（2013廣東）設各項均為正數的數列的前項和為，滿足

且構成等比數列．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

（Ⅲ）證明：對一切正整數，有．

25．（2013湖北）已知是等比數列的前項和，，，成等差數列，

且.

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）是否存在正整數，使得？若存在，求出符合條件的所有的集合；

若不存在，說明理由．

26．（2013江蘇）設是首項為，公差為的等差數列，是其前項和.

記，，其中為實數.

（Ⅰ）

若，且，，成等比數列，證明：；

（Ⅱ）

若是等差數列，證明：．

27．

(2012山東)已知等差數列的前5項和為105，且．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）對任意，將數列中不大于的項的個數記為.求數列的前m項和．

28．（2012湖南）某公司一下屬企業從事某種高科技產品的生產．該企業第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產，到當年年底資金增長了50％．預計以后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業從第一年開始，每年年底上繳資金萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產．設第年年底企業上繳資金后的剩余資金為萬元．

（Ⅰ）用表示，并寫出與的關系式；

（Ⅱ）若公司希望經過（≥3）年使企業的剩余資金為4000萬元，試確定企業每年上繳資金的值（用表示）．

29．（2012浙江）已知數列的前項和為，且=，，數列滿足，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求數列的前項和．

30．（2012山東）在等差數列中，，

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）對任意的，將數列中落入區間內的項的個數為，求數列的前項和．

31．（2012江蘇）已知各項均為正數的兩個數列和滿足：．

（Ⅰ）設，求證：數列是等差數列；

（Ⅱ）設，且是等比數列，求和的值．

32．（2011天津）已知數列滿足，

．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）設，證明是等比數列；

（Ⅲ）設為的前項和，證明

33．（2011天津）已知數列與滿足：，

，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）設，證明：是等比數列；

（Ⅲ）設證明：．

34．（2010新課標）設數列滿足

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）令，求數列的前項和．

35．（2010湖南）給出下面的數表序列：

其中表（=1,2,3

）有行，第1行的個數是1，3，5，，21，從第2行起，每行中的每個數都等于它肩上的兩數之和．

（Ⅰ）寫出表4，驗證表4各行中數的平均數按從上到下的順序構成等比數列，并將結論推廣到表（≥3）（不要求證明）；

（Ⅱ）每個數列中最后一行都只有一個數，它們構成數列1，4，12，，記此數列為，求和：

．

專題六

數列

第十八講

數列的綜合應用

答案部分

1．B【解析】解法一

因為()，所以

，所以，又，所以等比數列的公比．

若，則，

而，所以，

與矛盾，

所以，所以，，

所以，，故選B．

解法二

因為，，

所以，則，

又，所以等比數列的公比．

若，則，

而，所以

與矛盾，

所以，所以，，

所以，，故選B．

2．A【解析】對命題p：成等比數列，則公比且；

對命題，

①當時，成立；

②當時，根據柯西不等式，

等式成立，

則，所以成等比數列，

所以是的充分條件，但不是的必要條件．

3．A【解析】，，成等比數列，，即，解得，所以．

4．B【解析】在上單調遞增，可得，

，…，，

=

在上單調遞增，在單調遞減

，…，，，

，…，

==

=

在，上單調遞增，在，上單調遞減，可得

因此．

5．27【解析】所有的正奇數和()按照從小到大的順序排列構成，在數列

中，前面有16個正奇數，即，．當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；……；當時，=

441

+62=

503

+62=546>=540，符合題意．故使得成立的的最小值為27．

6．【解析】由題可得，，故有，又因為，即，所以．

7．64【解析】由且成等比數列，得，解得，故．

8．【解析】設，則，由于，所以，故的最小值是．

因此，所以．

9．【解析】(1)由條件知：,．

因為對=1，2，3，4均成立，

即對=1，2，3，4均成立，

即11，13，35，79，得．

因此，的取值范圍為．

(2)由條件知：,．

若存在，使得(=2，3，···，+1)成立，

即(=2，3，···，+1)，

即當時，滿足．

因為，則，

從而，，對均成立．

因此，取=0時，對均成立．

下面討論數列的最大值和數列的最小值（）．

①當時，，

當時，有，從而．

因此，當時，數列單調遞增，

故數列的最大值為．

②設，當時，，

所以單調遞減，從而．

當時，，

因此，當時，數列單調遞減，

故數列的最小值為．

因此，的取值范圍為．

10．【解析】（Ⅰ）用數學歸納法證明：

當時，

假設時，，

那么時，若，則，矛盾，故．

因此

所以

因此

（Ⅱ）由得

記函數

函數在上單調遞增，所以=0，

因此

故

（Ⅲ）因為

所以得

由得

所以

故

綜上，

．

11．【解析】證明:（1）因為是等差數列，設其公差為，則，

從而，當時，

，

所以，

因此等差數列是“數列”.

（2）數列既是“數列”，又是“數列”，因此，

當時，，①

當時，.②

由①知，，③

，④

將③④代入②，得，其中，

所以是等差數列，設其公差為.

在①中，取，則，所以，

在①中，取，則，所以，

所以數列是等差數列.

12．【解析】（Ⅰ）由已知，

兩式相減得到.

又由得到，故對所有都成立.

所以，數列是首項為1，公比為q的等比數列.

從而.

由成等差數列，可得，所以，故.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.

所以雙曲線的離心率.

由解得.所以，

13．【解析】（1）由題意得：，則，

又當時，由，

得，

所以，數列的通項公式為.

（2）設，，.

當時，由于，故.

設數列的前項和為，則.

當時，，

所以，.

14．【解析】（Ⅰ）設的公差為，則由已知條件得

化簡得

解得，．

故通項公式，即．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

設的公比為，則，從而．

故的前項和

．

15．【解析】（Ⅰ）設數列的公比為q，數列的公差為d，由題意，由已知，有

消去d，整數得，又因為＞0，解得，所以的通項公式為，數列的通項公式為.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）有

,設的前n項和為，則

，

，

兩式相減得，

所以．

16．【解析】(Ⅰ)

由已知，有

=(n≥2)，即(n≥2)，

從而，．

又因為，+1，成等差數列，即＋＝2(＋1)，

所以＋4＝2(2＋1)，解得＝2．

所以，數列是首項為2，公比為2的等比數列，故．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，

所以＝．

17．【解析】（Ⅰ）由題意有，

即，

解得

或

故或

（Ⅱ）由，知，，故，于是

，

①

．

②

①－②可得

，

故．

18．【解析】（Ⅰ）

解得

（Ⅱ），

當為偶數時

．

19．【解析】（Ⅰ）由題意，，，

知，又由，得公比（舍去），

所以數列的通項公式為，

所以，

故數列的通項公式為，；

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，，

所以；

（ii）因為；

當時，，

而，

得，

所以當時，，

綜上對任意恒有，故．

20．【解析】（I）因為是遞增數列，所以。而，

因此又成等差數列，所以，因而，

解得

當時，，這與是遞增數列矛盾。故.

（Ⅱ）由于是遞增數列，因而，于是

①

但，所以

.

②

又①，②知，，因此

③

因為是遞減數列，同理可得，故

④

由③，④即知，。

于是

.

故數列的通項公式為．

21．【解析】（Ⅰ）點在函數的圖象上，所以，又等差數列的公差為，所以

因為點在函數的圖象上，所以，所以

又，所以

（Ⅱ）由，函數的圖象在點處的切線方程為

所以切線在軸上的截距為，從而，故

從而，，

所以

故．

22．【解析】（Ⅰ）當時，

當時，

時，，當時，，是“H數列”．

（Ⅱ）

對，使，即

取得，

，，又，，．

（Ⅲ）設的公差為d

令，對，

，對，

則，且為等差數列

的前n項和，令，則

當時；

當時；

當時，由于n與奇偶性不同，即非負偶數，

因此對，都可找到，使成立，即為“H數列”．

的前n項和，令，則

對，是非負偶數，

即對，都可找到，使得成立，即為“H數列”

因此命題得證．

23．【解析】（Ⅰ）由，

所以，

是等差數列.

而，，，，

（Ⅱ）

24．【解析】（Ⅰ）當時，，

（Ⅱ）當時，，

,

當時，是公差的等差數列.

構成等比數列，，，

解得．

由（Ⅰ）可知，

是首項,公差的等差數列.

數列的通項公式為.

（Ⅲ）

25．【解析】（Ⅰ）設數列的公比為，則，.

由題意得

即

解得

故數列的通項公式為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）有

.

若存在，使得，則，即

當為偶數時，，

上式不成立；

當為奇數時，，即，則.

綜上，存在符合條件的正整數，且所有這樣的n的集合為．

26．【證明】（Ⅰ）若，則，，又由題，

，，

是等差數列，首項為，公差為，，又成等比數列，

，，，，，，

，（）．

（Ⅱ）由題，，，若是等差數列，則可設，是常數，關于恒成立．整理得：

關于恒成立．，

．

27．【解析】（Ⅰ）由已知得：

解得,

所以通項公式為.

（Ⅱ）由，得，即.

，

是公比為49的等比數列，

．

28．【解析】（Ⅰ）由題意得，

，

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

．

整理得

．

由題意，

解得．

故該企業每年上繳資金的值為繳時，經過年企業的剩余資金為4000元．

29．【解析】（Ⅰ）由=，得

當=1時，；

當2時，，.

由，得，.

（Ⅱ）由（1）知，

所以，

，

，．

30．【解析】：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，則

，，

于是，即.

（Ⅱ）對任意m∈，，則，

即，而，由題意可知，

于是

，

即.

31．【解析】（Ⅰ）由題意知，

所以，從而

所以數列是以1為公差的等差數列．

（Ⅱ）．所以，

從而

(*)

設等比數列的公比為，由知下證．

若，則．故當，，與（*）矛盾；

若，則．故當，，與（*）矛盾；

綜上：故，所以．

又，所以是以公比為的等比數列，若，

則，于是，又由，得，

所以中至少有兩項相同，矛盾．所以，從而，

所以．

32．【解析】（Ⅰ）由，可得

又，

當

當

（Ⅱ）證明：對任意

①

②

②-①，得

所以是等比數列。

（Ⅲ）證明：，由（Ⅱ）知，當時，

故對任意

由①得

因此，

于是，

故

33．【解析】（Ⅰ）由可得

又

當時，，由，，可得；

當時，，可得；

當時，，可得；

（Ⅱ）證明：對任意

①

②

③

②—③，得

④

將④代入①，可得

即

又

因此是等比數列.

（Ⅲ）證明：由（II）可得，

于是，對任意，有

將以上各式相加，得

即，

此式當k=1時也成立.由④式得

從而

所以，對任意，

對于=1，不等式顯然成立.

所以，對任意

34．【解析】（Ⅰ）由已知，當n≥1時，

．而

所以數列{}的通項公式為．

（Ⅱ）由知

①

從而

②

①-②得

．

即

．

35．【解析】（Ⅰ）表4為

1

3

5

7

4

8

12

12

20

32

它的第1,2,3,4行中的數的平均數分別為4,8,16,32.

它們構成首項為4，公比為2的等比數列．將結這一論推廣到表（≥3），即表各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列.

將這一結論推廣到表，即表各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列．

簡證如下（對考生不作要求）

首先，表的第1行1，3，5，…，是等差數列，其平均數為；其次，若表的第行，，…，是等差數列，則它的第行，，…，也是等差數列．由等差數列的性質知，表的第行中的數的平均數與行中的數的平均數分別是

，．

由此可知，表各行中的數都成等差數列，且各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列．

（Ⅱ）表第1行是1,3,5，…，2-1，其平均數是

由（Ⅰ）知，它的各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列（從而它的第行中的數的平均數是），于是表中最后一行的唯一一個數為.因此

．(=1,2,3,

…,

篇2

一、試卷的講評要及時

考后講評最好放在測試的當天，盡量不要超過兩天。此時教師剛批改完試卷，對學生存在的問題了如指掌，學生對于試卷所考查的知識點記憶猶新，學生的熱情也正高；他們不僅急于知道分數，更急于知道正確的答案。老師及時講評，學生就可以在第一時間內了解自己的測試情況，他們就會以更積極的態度認真地聽老師講解，這為試卷講評的高效化奠定了基礎。如果拖延時間過長，學生逐漸淡忘，對考試情況失去了興趣，此時再講評效果可能就會大打折扣。所以教師盡量在考試當天把試卷批閱完畢，及時講評，只有這樣才能達到更好的測試效果。

二、講評要注重激勵性

考試的目的是讓學生了解自己掌握知識的情況以及能力所達到的程度，考后講評以發揚成績，糾正錯誤為目的，彌補缺陷，激發學生的求知欲。一節好的講評課，首先應該發現和肯定學生的成績，鼓勵和表揚學生的進步，激發學生學習數學的積極性。特別對后進生，更要因人而異，從解題思路、運算過程、運算結果和書寫格式等方面多引導，細心尋找他們的“閃光點”，對他們取得的成績給予充分和肯定，并多加表揚和鼓勵，使后進生感受到自己已有的進步，從而增強他們學習的自信心。一位教育家說過：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒、鼓舞”。所以，考試后的講評重點必須放在肯定和鼓勵上，要充分調動各類學生學習數學的熱情、興趣、愛好等多方面的積極性，促進智力因素與非智力因素的協調發展，以達到最大限度地提高教學成績的目的。

三、抓重點精講，忌面面俱到

教師講評要有針對性，要突出重點，抓住關鍵性、典型性的問題加以點撥剖析，不要什么問題都講，更不要從第一題講到最后一題；如果面面俱到，講評課就會變成只有教師在簡單重復試題答案的乏味課。另外，也不要把個別學生的問題拿到課堂上講，以免浪費大多數學生的時間，達不到講評課應有的效果。這就要求教師課前備課一定要認真，不僅寫好講評課教案，還要對閱卷過程中收集到的問題進行整理分析，從中抽出具有普遍性的典型問題進行講評，哪些該粗講，哪些該細講，教師一定要心中有數。對于那些錯誤率較低或已反復講解過的題目則要一帶而過，留待課后個別解答。這樣就為其他難點和重點題的講解贏得了更多的講評時間，講評效果也就要更加突出。

四、課堂上留出時間，讓學生自主訂正

絕大多數學生拿到試卷后，首先關心的是分數和名次，接著才會關注出錯的題目。對于會做而做錯的題目，學生多會為此懊悔和自責，教師不要責備。對于那些當時不會做的題目，在考試結束后，也可能通過向其他同學詢問答案或查找資料，掌握或基本掌握問題的解決方法。學生這種主動糾錯的積極性，教師應十分珍視，不必急于開始講評。對于那些不能準確把握答案的題目，學生則急切地想知道問題的答案和錯誤原因，這個時候，他們的學習動機和求知欲望才表現得最強烈，這也正是開始講評的最好時機。因此，在試卷正式講評之前，教師應該稍微留出一些時間，讓學生互相討論，自主訂正，之后再講評，這樣講評的效果會更好。

五、師生共寫考后反思

試卷講評后，教師應當認真研究學生所犯的錯誤，從教與學兩方面和學生一起冷靜分析，認真反思：本次考試是否達到理想的效果？有哪些經驗值得保留？哪些是由于教師的教學原因而導致學生失分？哪些地方的錯誤本可避免？一方面教師要找出來在以后的教學中改進，另一方面要引導學生寫出心得體會，總結考試成敗的原因，讓學生學會自我評價、自我改進，明確今后的努力方向，以利于在下次考試時揚長避短。這樣做不僅有利于教師提高教學水平，也有利于教師與學生在思想上產生共鳴，從而使教師真正贏得學生的信任。提倡學生制定錯題訂正本，訂正不能滿足于只寫一個正確答案，還應體現出錯原因和所得啟示等。學生的考后反思和錯題訂正內容，教師要及時審閱，并適時給予中肯的意見和評價。

篇3

1.探索并掌握兩、三位數乘一位數進位的計算方法，并能正確地進行計算。

2.結合具體的情境，逐步培養提出問題、解決問題的意識和能力。

3.培養數學交流能力，學會與同伴合作，獲得成功的體驗，樹立學習的信心。

【設計思路】

學生學習了兩、三位數乘一位數不進位的計算方法，讓學生沿著這個臺階拾級而上，逐步培養解決問題的能力是本課設計的著眼點，本課設計主要體現以下特點。

1.充分發揮教材主題圖的作用，讓學生在具體的情境中提出問題，然后把計算教學與解決問題結合起來，使學生感受數學的應用價值。

2.鼓勵算法多樣化，促進每個學生在各自基礎上得到發展。給學生留出交流、比較、選擇的空間，幫助學生了解各自算法的特點，進一步弄清算理，從而掌握或優化算法，體現數學學習的自主性。

3.為學生提供獨立思考和合作交流的空間，重視對學習方法的指導，培養自主學習的初步能力。在閱讀情境圖、提出問題、探究計算方法時，先保證每個學生獨立思考后再組織交流，以保證小組合作學習的有效性。

【教學流程】

一、創設情境，提出問題

師：國慶期間，同學們結伴去游樂場去玩。這是他們到游樂場的情境（出示情境圖），你能從圖中獲得哪些數學信息？提出哪些數學問題？

學生獨立觀察情境圖，小組交流后匯報。

［策略建議：讀懂情境圖才能提出問題，教師應先讓學生有獨立思考的時間，然后小組內交流，為每個學生提供交流的機會，然后匯報。］

二、解決問題，理解算理

1.自主探索算法。

16人坐太空船，需要多少錢？怎樣列式比較簡便？

（1）獨立列出算式：16×4或4×16。

（2）學生獨立思考并計算，教師巡視，關注學生做題情況。

（3）學生匯報算法。

學生可能出現的算法情況：

［策略建議：兩位數乘一位數學生前面剛學過，所不同的是本課多了進位，處理進位學生在加法計算中雖有了一定的經驗，但在乘法計算中還是首次出現，教師應有意識地引導學生明白“哪一位上乘積滿幾十，就向前一位進幾”的道理，并引導學生怎樣在豎式中做記號，以防遺漏。］

2.引導優化算法。

師：現在請同學們思考下面兩個問題。

（1）把你的算法和黑板上的算法比一比，哪些相同，哪些不同，你認為哪些種算法算得又對又快？

（2）這些算法之間有什么區別與聯系？你有什么想提醒同學們注意的？

學生獨立思考后進行小組交流，教師參與學生的討論。學生充分交流、匯報后，老師進行歸納小結，讓學生體會到：

①第一種橫式口算方法和表格算法的共同點是把兩位數分解成幾十和幾個一，根據算法的意義分別乘一位數相乘，再把所得的積相加。

②豎式算法與前兩種算法的算理是相同的，只不過形式不同而已。

③在豎式計算中，哪一位乘積滿幾十，記得向前一位進幾。

［策略建議：優化的主體是學生，教師應引導學生在交流、比較、分析中選擇適合自己的方法。豎式計算是以后學習計算的基礎，所以在教學時教師要有意識地引導學生列豎式計算乘法。］

3. 嘗試練習，強化算法。

（1）學生獨立完成書本第30頁“試一試”，老師巡視，關注學生對進位的掌握情況，并對個別學困生進行及時指導。

（2）小組內交流算法，再匯報。

［策略建議：豎式計算乘法是本節課的重點，教師應重點指導，可指定學生到臺前板演第1題，匯報時集體訂正，以強化豎式計算的書寫。鼓勵學生選擇適合自己的算法計算第2題，再組織交流，總結經驗，提高計算的正確率。］

三、 鞏固提高，掌握算法

1. 學生獨立完成第31頁“練一練”第1、2題，做完后小組內互評。

2. 鼓勵學生用不同的方法解決第3題，師重點引導學生理解“一套衣服”指一件上衣和一條褲子。

3. 嘗試解決第4題。教師可以引導學生根據情境圖中的信息，獨立尋求解決問題的不同方法，并鼓勵學生說出自己的想法。

學生可能會有以下方法：

①15×3+31×8=30+248=278，278＜300，夠；

②300-31×8=300-248=52，15×2=30，30＜52，夠；

③15×2=30，31×8=248，300-30-248=22，夠；

④15×2=30，31×8=248，30+248=278，300-278=22，夠。

［策略建議：第1、2題應讓學生安靜地獨立計算，教師對個別學生進行針對性指導，再小組互評；對于第3、4題學生出現的各種解決方法，教師應引導學生進行分析，對有創新的解決思路應及時給予肯定和鼓勵；對存在問題進行有效的糾正，以逐步培養學生解決實際問題的能力。］

四、 回顧總結，反思評價

師：這節課你學會了什么，學得怎么樣？你有什么想提醒同學們注意的嗎？

篇4

首先，課始的復習鋪墊就做的很好，引導學生進行逆向思維。一開始，教師就口頭出題，檢測學生以前所學的知識學得怎么樣。如問“幾乘以幾等于24？”“幾乘以幾等于48？”“幾乘以幾等于56？”這幾道題的算法都是多樣的。不是只有唯一一種算法，學生在思維時就要進行周密的思考。接著在大屏上出示兩道算式：329-75-25=329-（75+25）；147-（47+30）=274-47-30；問題是看到這個算式你想到了什么？問題提得很活。有些學生想到了加法結合率，有的學生想這樣計算更簡便，還有的學生由連加想到了乘法，由連減想到了除法。這節課是學習運用除法的性質進行除法的簡便運算。課前的這兩道復習題都別有用心?？谒泐}讓學生知道了一個數可以由不同的兩個因數相乘得到。而復習結合率，不是簡單地讓學生背一背結合率的概念，而是讓學生通過兩個算式進行思維得到。既溫故了舊知，又進行了數學思維的訓練。

其次，新知探究環節，讓學生經歷觀察、操作、歸納、反思、交流等思維活動。學生的思維是活躍的，不可低估的，當學生回答由連減想到除法時，教師順學而導，出示算式：64÷2÷4；讓學生猜測是否等于64÷（2×4）；學生有的猜測等于，有的不敢肯定正在思考。于是老師拋出一個問題：怎樣才能證明？學生異口同聲說“計算”。學生經過計算得出結果相等，算式應該可以劃等號。教師接著問：由這個算式，你想到了什么？學生進行思維后，馬上得出：一個數除以兩個數等于這個數除以這兩個數的積。在初步得出結論后，老師又質疑：只用一個算式就能證明嗎？于是老師又給出了兩個算式：270÷3÷45 270÷（3×45）讓學生證明是否相等。學生很快就證明出相等。老師在兩個算式間劃上了等號。接下來，老師又讓學生自己舉例出題。學生思維很活躍，根據剛才的初步認識，學生列出了許多一個數除以兩個數等于這個數除以這兩個數的積的算式。并一一進行證明?！斑@樣的例子能列舉完嗎？怎么辦？”老師又把這個問題又拋給了學生。學生思考后，歸納出用字母表示的方法：a÷b÷c　=a÷（b×c）。在學生歸納總結出公式時，老師緊跟著提問：這些字母可以是任意數嗎？又將學生引入數學思維活動。經過討論得出b和c都不能等于0。

一個運用除法的性質進行除法的簡便運算的公式就這樣在學生的觀察、交流、反思、歸納中概括出來了。接下來是如何運用公式進行簡便運算。進入教師設計的“嘗試訓練”。出示第一題：12000÷25÷4，教師提問：誰告訴老師，你看到這個算式會想到什么？你會用哪個算式？關鍵我們找到了什么秘訣？老師不要求學生拿到算式后急于進行計算，而是引導學生進行觀察、進行思維。學生很快就想到了剛才歸納的公式，可以把這道題想成12000÷（25×4）這樣簡便。在完成這道題后，教師問：由這道題你想到了哪道題？學生立即想了：12000÷125÷8，12000÷2÷6，12000÷8÷5……。老師并不是讓學生把這些題算出來，而是讓學生思考：通過運算我們知道了什么小秘密？師生歸納總結為：兩個除數的積如果能湊成和被除數有明顯的倍數關系，就用被除數除以兩個除數的積比較簡便。

這是一種情況，老師又出示了一道題：5600÷（56×25），“看到這個算式你又想到什么？你怎樣選擇用哪個算式算？”這個問題一提出，學生就進入了思維之中。片刻工夫，學生已經有了頭緒。老師找了兩三位學生說是怎樣想的？一個學生說：“看到這個算式，我發現5600與56有明顯的倍數關系，于是我想到了用5600÷56÷25，這樣算5600÷56等于100，再除于25等4。這樣算比較簡便?！苯又殖隽藥椎李}進行練習。說完后又引導學生進行思考：通過運算你覺得除法的簡便運算又有什么小秘密？師生共同歸納為：被除數中的一個因數與除數有明顯的倍數關系的，先算除法比較簡便。

為了加深公式在頭腦中的印象。老師又安排了判斷簡便方法正確嗎？一道是：65000÷125×8。這道題不是連除，可是在算時卻把算式寫成了65000÷（125×8）。明顯是亂用公式。還有一道題是沒有看清符號。也誤用除法簡便運算。這兩道題是否定例證，通過這兩道題，學生更加明白了怎樣運用公式進行簡便運算了。這一環節的設計讓學生對概念在頭腦中的形成起到了關鍵作用。

第三，鞏固練習，讓學生活學活用，同時注重及時總結方法，進行思維訓練。運用除法的簡便運算公式，學生已經能熟練地進行簡便運算了，可是能不能巧用、活用呢？老師的又進行了第三個環節：鞏固練習。5600÷14÷4，學生馬上就想到用公式簡便，想成5600÷（14×4）；老師馬上又問，除了這樣以外，還有哪種簡便呢？在教師的引導下，學生很快就發現，5600÷14÷4，這道題按順序算也挺簡便。還可以5600÷4÷14這樣算，也比較簡便。完成后，教師講解：這三個解法都正確，都簡便。你們有什么體會要告訴老師嗎？意圖在引導學生要靈活運用。學生談體會，其實是在進行數學思維。

接下來，又出示了6000÷48，這道題可不是連除了。教師導語：兩個數相除能用今天學到的方法解答嗎？學生馬上想到可以把48折分成6×8，列成6000÷6÷8簡便。教師又問你是怎么想的？讓學生把思維的過程說出來。學生說，我一看被除數6000與6有明顯的倍數關系，又想48折分成6×8，于是我就用6000÷6÷8，這樣算比較簡便。接著又出示一道算式：1800÷72，學生經過思考后很快列出了簡便算法，可老師還是盯著怎么想的這一問題讓學生說出他思維的過程。一生說：“我想72可以拆成幾乘幾呢？8×9得72，于是我就想到了1800÷9÷8?！绷硪粚W生說生更妙：“我一看被除數1800與18有直接的倍數關系，我再看72又可以拆成18×4，于是，我就想到了1800÷18÷2。”老師及時表揚這位孩子，“你真會想，我們一起來看，其實72可以拆成好多兩個因數相乘，可以拆成36×2，24×3，12×6，你能直接想到18×4，去根據除數找倍數關系，真是聰明。”

篇5

【關鍵詞】以問導學 初中數學

課堂教學

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）12A-0082-02

在初中數學教學中，教師經常采用提問的方法與學生直接對話，引導學生積極互動。因此，在課堂教學的不同階段，教師應根據教學目標以及學生在課堂上的表現，靈活恰當地拋出適合的問題，讓問題串成為學生數學學習的催化劑，調動學生積極參與數學學習，使數學課堂教學更加緊湊、高效。下面筆者以人教版數學九年級下冊《相似三角形》的教學為例，談談在問題的引導下，如何構建一個高效的數學課堂。

一、在導入時設計趣味性問題，引發學生的探究興趣

缺乏興趣是導致學生數學學習效果不理想的主要原因之一，教師應利用學生的好奇心，根據學生的關注點，運用詼諧有趣的語言，在課堂導入環節適時提出問題，以吸引學生的注意力。只有設計學生感興趣或學生關注度比較高的問題，才能引發學生的關注，激發學生的求知欲，迎合學生的內在需求。

在教學《相似三角形》時，教師運用多媒體投影出了古埃及金字塔的圖片并通過語音介紹：“這些金字塔是古代埃及國王和王后的陵墓，建造在4500年以前，現在大家看到的這座金字塔是最大的胡夫金字塔，據說建成這座金字塔用了20年的時間，有10萬人參與。當時古代埃及著名的考古專家為了考查兒子的學習情況，就出了一道題目：‘如果給你一把皮尺，一根1米長的直桿，你能測量出這座金字塔的高度嗎？’當時只有14歲的小很快給出了答案。你知道他是怎樣測量并計算出塔的高度的嗎？”學生看到了投影上的圖片，注意力瞬間被吸引過來了，再聽語音介紹，覺得這個問題很有意思。“那么高的金字塔怎么測量出來的呢？學習了這節課的內容后，大家都可以輕松地測量任何高大建筑物的高度了?！苯涍^教師的層層引導，學生迫切地想要揭開這個問題的答案，由此產生了濃厚的探究興趣，快速地進入了學習狀態。

二、在新授時設計啟發性問題，引導學生的深入思考

新知識的學習是數學學習活動中的重頭戲，在課堂教學活動中占用了絕大部分時間。初中數學知識具有較強的抽象性，要求學生進行邏輯推理，在這個過程中，教師要扮演好學生學習數學新知的引導者和協助者，通過精心設計具有啟發性的問題，啟發學生深入思考，層層深入地引領學生探索數學新知，更加快速、準確地理解數學知識，提高自身的數學思維能力。

在引導學生探究相似三角形新知過程中，為了啟發學生的理性思考，建立新舊知識之間的聯系，教師首先提出問題：“我們曾經學習了全等三角形的知識，大家請思考，兩個全等三角形在形狀、大小上有什么特點，對應的邊和對應的角分別有什么關系？”學生開始回憶并回答問題：“全等三角形的大小相等、形狀相同，對應邊和對應角都完全相等。”“很好！那么試著想象一下，如果兩個三角形的形狀相同，但是大小不相等時，這兩個三角形是什么關系呢？”學生在自己預習的基礎上，對于相似三角形的概念已經形成了初步的認知，很容易回答出來――相似。這時，教師又讓學生在已理解的基礎上，通過親眼觀察和動手測量幾組三角形的邊、角。“同學們通過動手操作有什么新發現呢？”學生總結得到這幾組三角形的對角相等，而對應的邊只成比例。最后，教師讓學生歸納概括：“通過推理和實際動手測量，你們能說說什么是相似三角形嗎？”學生經過認真深入的思考后，給出了相似三角形的定義：“對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫相似三角形?！蓖ㄟ^教師設計的一系列問題的引導，促使學生不斷深入思考和分析，引導學生進行總結，實現了對數學知識的主動探索發現，讓學生既不會覺得數學難學，也體驗到了探索數學知識的樂趣。

三、在結束時設計實踐性問題，提升學生的綜合能力

訓練學生的數學思維，拓展學生的知識面，是促進學生綜合素質全面發展的有效方式。在完成了數學課堂上的學習任務之后，在課堂小結回顧環節，教師可以結合課堂學習的內容，針對學生的個性化需求，設計出一些開放性、靈活性的問題，引導學生通過課外自主學習探尋問題的答案，拓展自己的數學知識面，把課堂學習延伸到課外。

學習相似三角形之后，教師在組織學生進行課堂練習時，出示了一道與現實生活聯系密切的題目：請大家運用這一節學習的知識，測量一下我們學校廣場上旗桿的高度。課堂上讓學生先說出具體的思路。有的學生結合本節課開始時教師創設的小測量金字塔高度的故事，想到了首先需要準備尺子、直桿；有學生說需要在晴天旗桿有影子時才能通過測量計算出旗桿的高度?！巴瑢W們的思路很清晰，那么，你利用旗桿的影子進行測量高度的依據是什么呢？”“相似三角形。”“具體來說一說?！苯處熡肿寣W生進行細致地思考并回答。“當旗桿的影子與直桿的影子重合時，旗桿和影長、直桿和影長就構成了一組相似三角形，這時只要測量出兩個影子的長度，再知道直桿的高度，就可以利用相似三角形對應邊成比例的特點，列出比例式，求出旗桿高度。”教師首先肯定了學生的回答，然后又提出問題：“如果我沒有直桿，只是知道自己的身高，能不能測量求出旗桿的高度呢？”學生經過思考后認為可以?！斑@個問題就留給大家課后去廣場上真正實踐一下，看看你們的方案是否可行，測量的結果是否準確?！睂W生興趣很高，課后也積極地進行了實踐，既鞏固了新知的學習，又鍛煉了動手能力，真正提高了學生解決實際問題的能力。

篇6

一、分層激發，提高學生學習數學的動力。

1、對優等生進行挫折激發。由于他們學習基礎好，學習能力強，思維敏捷，對于所學的知識很容易接受，教科書上的作業題一般難不住他們，不能滿足他們的求知欲望，要想激發他們學習數學的內在動力，就必須給他們留懸念，而且是最能吸引他們的，不要讓他們處在勝利之中。聰明的人很多但往往不一定成才，而取得成功的往往是勤奮努力的人。因此對待優等生筆者采取的是挫折式教育，來激發他們學習數學的內在動力。

2、對中等生實施鼓勵激發。中等生一般不會干擾課堂紀律，但心不在焉，有時你把他叫起來，他根本不知道你問的是什么。對于此類學生，經常提問，做對了給予鼓勵，然后拿出一道同類型的題用信任的語氣告訴他：我相信你一定會做得很好，課后去做。所以要激發中等生的內在動力，一定要采取鼓勵式教學。

3、讓后進生感受關愛激發。對于后進生，盡管基礎很差，但也不能放任自由。上課前告訴他們，這節課講完后要進行提問。然后臨下課前提出一些有關本節課基礎性、概念性的問題讓他們回答，再給他們一些簡單的、基礎性的題讓他們課后去做。給他們定的目標不要太高，讓他們跳一跳就能夠得著，這樣可以讓他們嘗到成功的喜悅，從而感受到學習的樂趣。

二、注重思維，提高學生的自主學習能力。

數學是思考性很強、著重培養學生思維能力的課程，而這種能力只有在學生的自身主動參與的學習過程中才能實現。為此，根據新課程的要求，應在教學中積極倡導自主、合作、探究的學習方式。首先，努力為學生提供交互式的學習平臺，創造自主學習的氛圍和空間，提供加強學習和思考的機會，使數學教學有一個民主、寬松、和諧和愉悅的氛圍，在整個教學中，時時人人有提問、發表、交流和展示的機會。其次，精心組織學習活動，重點是組織好自學，使每個學生都能獨立思考，組織好合作學習，既做到在互動中把學生引向深入，又做到因材施教，加強個別輔導，組織好全班交流，在交流中引導、調控，通過師與生、生與生的交流，使學生不斷進行自我組織，自我構建，在這種組織構建中，逐漸提高學生的學習素質，形成適合自己學習數學的方法，從而全面實現教學目標。

三、改進教學，提高學生的創新能力。

1、指導學生勇于思索、發現問題。數學教學中指導學生獨立思考，善于發現問題、提出問題，是培養學生創新能力的一個重要途徑。如學習直線公理后，有這樣一道思考題：平面內有n個點，其中任意三點不共線，過其中兩點畫直線，一共可以畫多少條直線？有些學生感覺無從下手，沒有思路。教師如果這樣指導：過平面內不共線三點中的兩點可以畫多少條直線？四點呢？五點呢？六點呢？……n點呢？學生經過探索、思考后會很快發現其規律。

2、發揮學生主體作用，精講精練。

充分調動、激發學生的積極性、主動性，引導、鼓勵學生主動去觀察、探索，力求通過學生自己的思考去獲得知識，這是培養學生創新能力的一項長期工作。在分式第一節課中，通過學生閱讀、討論，歸納出本節的主要內容：① 分式的概念；②有理式包括整式和分式；③三種基本題型。做完書中練習后，教師只講三句話：①我們現在判斷一個代數式是否是分式，主要看分母是否含有字母。②分式和分數有很多類似的性質，如：分母不能為0。③分式的值為零是一種什么情況？學生思考后，幫助總結。隨后立刻給學生加以拓展。

3、培養學生自學能力，學會學習。

一個人的一生需要不斷學習，才能適應社會不斷變化、不斷進步的需要。因此，數學教育在傳授知識的同時，必須使學生具備豐富自己知識的能力。這是創新能力的前提。

篇7

關鍵詞：拒絕改錯；單元測試；生問師答

“沒有不可教育的學生”，秉持新課標理念，學校教育應從學生的個性出發，尊重學生的個性差異，為每個學生提供充分表現自我的舞臺：不僅要展示“優秀生”的特長和優點，更重要的是發現“學困生”的錯誤，即：數學學習當中遇到的思維障礙。以此為資源，對學生的學習行為進行激勵性評價，促使他們養成良好的行為習慣。平等地善待每一位學生，堅決反對以學生成績、性別和外貌來區分學生。把學生的錯誤當做“資源”，挖掘其中蘊藏的“閃光點”，為每個孩子的發展提供有利的條件，應成為教師課堂教學追求的最高境界。沒有個性的教育是不完整的教育，沒有個性，就沒有創新。走出標準件式的“師問生答”的教育模式，走向多樣的個性教育已成為當今時代的潮流。

自科舉制度誕生以來到今天的高考制度，考試作為“傳統教學”主要的評價手段，已深深地根植于我國教育體制當中，“分，分，分，學生的命根”已成為很多教師和學生的共識。學校的教學工作離開了考試就無法開展。因為，考試可以用來了解階段教學的成果、存在的問題，所以就有了課堂小測驗、單元測驗、月考、期中檢測、期末統考……十年的課程改革，絲毫沒有動搖考試在教學中的地位，這值得每一位教育工作者反思。

剖析一下傳統“閱卷”流程：組織學生在規定的時間內答試卷；教師按照標準答案進行閱卷，習慣上用“√和×”來判斷正誤；考后，教師在課堂上統一講解，學生針對自身存在的問題進行改錯，形成了老師講、學生聽，老師操作、學生看，“師問生答”的經典畫面。這樣的“評卷”對教師而言，無疑是了解學生的課堂學習情況，獲取教學信息的最佳路徑，但對學生而言，由于缺乏激勵性，“學困生”面對鮮紅的“×”，內心充滿挫敗感，學習數學的興趣陡然下降，聽不進老師的講解，產生了畏難情緒，出現了一部分學生“拒絕改錯”的現象……

一位心理學家說：“教學方法一旦觸及學生的情緒和意志領域，觸及學生的心理需要，這種教學就會變得高度有效。”如何避免“拒絕改錯”現象的發生以及“學困生”數量的急劇增加？課改以來，我大膽實踐，反復總結經驗教訓，逐漸摸索出一套行之有效的辦法，即：學會等待。種子發芽需要等待，幼苗破土需要等待，花蕾綻放需要等待，果實成熟需要等待，用“？”代替“×”，在時間上“留白”，推遲考試評價，留下足夠的空間讓小學生思考和交流，淡化“評價的總結性”功能，凸顯“評價的形成性”功能，逐步培養小學生的問題意識，耐心地等待……

以單元測試為例，分準備、實施和檔案袋評價三個階段。

一、準備階段

有三個環節，首先是命題和考試，其次是閱卷和統計，最后是利用Excel表格分析、獲取考試信息。

二、實施階段

以學生活動為主，由個人改錯、小組協作和班級匯報三個環節組成。在班級匯報上，教師適時開通“知心信箱”，用來回答、點撥小學生合作討論后仍存在的疑惑。

三、檔案袋評價階段

教師填寫總成績和以激勵評價為主的“教師寄語”，學生自己編寫的“錯題集”入檔，附家長建議。

教師充當的角色：

準備階段：命題時，選擇“常模參照測驗”，了解每名學生的真實學習情況和學生之間存在的差異；閱卷時，擯棄“×和√”，用“？”代替“×”，在問題處加注“點撥性話語”，在亮點處添加“激勵性語句”；統計時，把“總成績欄”空下來，只統計試卷中各大題的分數，利用Excel表格制成柱形統計圖，登記出每個大題的“優勝者”予以公示表揚和鼓勵，樹立“榜樣”。這樣做，可以留給每個學生思索、探討和交流的空間，改正“錯誤”的機會，避免“學困生”產生厭學和畏難的情緒，激發他們向自己的“錯誤”挑戰，探究“錯誤”形成的原因，調動他們主動參與數學活動的積極性。

學生的數學活動：

首先個人“改錯”，面對測試卷當中的“？”——數學學習當中存在的“困難”，可以翻書、查資料進行糾正。如果自己不能獨立完成，則可以進入下一環節“小組協作改錯”，向該大題的“優勝者”尋求幫助。這種生生互動在課堂教學中占據著重要的地位，徹底顛覆了傳統教學中教師單向“灌輸”的被動局面，對煥發小學生參與數學活動的興趣、積極性、主動性和創造性起著至關重要的作用。最后，在班級匯報上，教師通過“知心信箱”和小學生交朋友，每名學生爭先恐后地發言，“學困生”講通過改錯感受到的點滴進步，“優勝者”談成功思考后帶來的快樂體會，生生、師生互動交流，敞開心扉，放飛思想，真情對話，彼此分享著“改錯活動”帶來的幸福與歡樂……

數學活動結束時，老師宣布單元最終成績：每名小學生經過自己努力改錯后，得100分?！谡n程改革的大屏幕上，定格著一幅美麗的輕松、愉快、師生和諧“生問師答”的數學學習活動的“嶄新畫面”！

著名數學教育家波利亞指出：學習任何知識的最佳途徑是自己去“發現”，因為這種“發現”理解深刻，最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系。只有讓學生思索錯誤，探究錯誤形成的原因，才會形成問題意識，產生解決問題的智慧，迸發出創新的火花，才能體驗學習數學的愉悅，激發學生的創新精神，使小學生無所畏懼，勇敢地投入下一輪數學探究活動當中去……熱愛數學，學會數學，最終會利用“數學”工具解決實際生活中遇到的有關數學問題……

新一輪課改的號角已經吹響，信息技術與學科教學的有效整合給每一位小學數學教師提出了新的思考，只有樹立終身學習的觀念，努力做一個主動學習、勇于實踐、善于反思、勤于積累、敢于創新的教師，學生才能學會認知、學會思考、學會交流、掌握數學、學會創造，最終成為對社會有用的人。

“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴！”選擇做教師，就選擇了勤奮，選擇了付出，選擇了寬容，選擇了終身學習，選擇了承擔點燃學生智慧的責任，選擇了一切服務學生的事業！留心學生犯錯誤時生成的資源，學會等待，多留點時間和空間，讓學生智慧地去發現“問題”吧！播撒下創造的種子，“創新”的芳香將撲面而至！

篇8

審題能力影響著學生的解題，如果在審題過程中出現錯誤，就會導致解題方向、解題知識點運用、解題方法運用等出現錯誤，最終題目解錯。尤其是數學應用題中，題目敘述較多，很多學生因為審題不清出錯。在教學過程中，老師應該嚴格要求審題，讓學生養成良好的審題習慣。老師在課堂上講解數學題時，應該注意反復讀題、分析，讓學生在潛移默化中認識到讀題重要性，并在以后自己解題過程中，主動反復審題。老師還應該教導學生，如何準確迅速審清題意。在審題過程中，通常分為兩類型:一是像計算題一類的題目敘述較少的數學題，可以讓學生學會找到關鍵詞，很多計算題要求學生在計算完后檢驗，但是很多學生由于審題不清，計算完后不進行檢驗，老師應該在平時講解題目中注重強調;二是像應用題一類的題目，敘述較多，包含很多知識點，需要學生理清題意，再進行解題，老師應該教會學生如何簡化題目中的已知、未知條件，如何將所需解決問題簡化成基礎題目來解答，找到題目中隱藏條件。根據題意，分析需要什么數學知識點、方法來進行解題。久而久之，就可以培養學生良好的解題習慣，提高審題能力，有助于提高解題效率與質量。

二、巧妙運用數學知識，找到準確解題方法

在審題之后，很多學生就盲目進行解題，這是錯誤的解題過程。老師應該在教學過程中就此進行正確指導。學生在審題之后，應該是根據題目中得到的信息進行總結，并與所學基礎知識聯系思考，分析題目所給條件，與所學的哪些知識有關聯，應該采用什么基本技能與方法來解題，并充分發揮自身猜想，認真思考后，再著手進行解題。這樣學生在審題完成后，就會將題目中涉及知識點找出來，并找到準確解題方法。數學題目的答案往往只有一個，但是解題途徑很多，老師在平時課堂上講解相關題目時，應該進行相關方面的培訓。在指導學生解題過程中，應該讓學生找到題目的相關知識點，然后用多個方法進行解題，拓寬學生的思維，讓學生學會從不同方面著手解題，并選擇最佳解題方案，提高解題效率。

三、培養學生創新思維能力，克服思維定勢

在教學過程中，老師應該注重培養學生的創新性解題能力，突破思維定勢。因為目前很多老師在教學過程中，為了提高學生一類題目的解題水平，會進行同類題目的大量訓練。在這個情況下，學生很容易就產生思維定勢。當題目當中條件、要求發生變化后，學生在解題過程中還是盲目套用公式，結果就造成大量題目錯誤。針對這個現象，老師應該合理安排教學內容，在進行題型訓練時，要參雜各類題目，讓學生能夠進行靈活轉變。尤其是一題多個解題方案時，盡可能多的讓學生去嘗試，多設開放性題目，讓學生多機會進行創新性題目訓練，從而提高學生的創新性思維能力，克服思維定勢。

四、養成解題后反思總結的學習習慣

初中數學老師為了提高學生的解題能力，會在教學過程中花費大量的心思，但是在教導學生課后總結、思考方面做的還不夠。學生只是在老師指導下學習解題，將錯解題目進行改正訓練，但是并沒有后續思考，這也是為什么很多學生，在老師教學當下知道答題錯在什么地方，過后同樣錯誤還會繼續重犯的原因。沒有總結，找出錯誤原因，就不知道怎么來避免錯誤。老師在教學過程中，講解題目時，除了要講解正確解答方法、技巧，當中包含的基礎知識，還應該將學生答題中出現的錯誤，進行分析講解，找到出錯原因，讓學生進行總結、反思，最終進行改正。還應該讓學生課后將錯誤題目進行訂正、標注錯誤點，最終養成學生糾錯反思的習慣。另外，由于很多題目解決途徑多，老師在講解之后，學生應該將每種解決途徑寫下、理解，并總結每種解題途徑，反思為何沒有找到最簡單易行的解題。長期以往，學生會養成反思總結的學習習慣，在以后的解題過程中可以避免錯誤，找到最佳解題方法，有效提高學生的數學解題能力。

五、養成學生獨立思考的習慣

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【關鍵詞】小學數學 課堂教學

模型思想 滲透

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）06A-0110-01

所謂“模型思想”就是指對于特定對象，借助生活原型，通過觀察、操作、對比、分析、歸納等形式，把具體問題轉化為數學模型的一種方法。在小學數學教學中，教師要善于根據教學需要，幫助學生建構數學模型，然后再鼓勵學生運用數學模型解決具體問題，促使模型思想在教學中不斷得以滲透，提高課堂教學效果。那么，如何進行模型思想的滲透才更為合理、有效呢？

一、借助學具操作滲透模型思想

學具操作是小學數學教學中常用的一種教學手段。在小學數學教學中借助學具操作，可以把抽象的問題直觀化、形象化，把復雜的問題簡單化、具體化。鑒于這種優勢，教師如能把模型思想滲透其中，就能讓學生感受到數學學習簡單、有趣，有利于學生數學模型思想的形成與發展。

如在教W人教版一年級上冊《8加幾》時，為了幫助學生靈活地運用所學知識進行計算，教師主要把引導學生總結出8加幾的算法算理作為教學的重點，并通過建立數學模型，使學生在口算時能夠有據可依。于是，教師讓學生拿出手中的小棒，以“8+5”為例，引導學生想一想：假如一捆小棒是10根，能不能把它們湊成一個整捆數？如何操作？在教師的鼓勵下，學生從5根小棒中取出2根，于是就有了如下數學模型：先把5分成2和3，8和2湊成10，10加3等于13。此時，教師又以8+3，8+4，8+6，8+7，8+8，8+9為例，讓學生運用上面的數學模型，對8加幾的各類習題進行口述，如此一來，不僅深化了學生對數學模型的認識，還收到了顯著的教學效果。

二、借助數學情境滲透模型思想

情境教學是小學數學課堂常用的一種教學方式，問題情境因其目的性強、與學生所學知識比較接近等特點，能有效地激發學生的探究興趣。結合這個特點，教師如能根據學生的學習需要，注重模型思想在課堂教學中的滲透，那么學生就會對所學知識產生深刻的印象，進而有利于學生形成數學思想方法。

如在教學三年級上冊《長方形和正方形的周長》時，筆者采用了借助問題情境幫助學生建構模型的教學方法：“張大爺想用鋼絲來圍一個長方形柵欄，這個柵欄的長是5米、寬是3米，請問需要準備多長的鋼絲？”經過思考后，有學生說是5+3+5+3=16（米）；有學生說長方形的兩條對邊相等，可以這樣算：5×2+3×2=16（米）；還有的學生說可以先算出長方形一條長與寬的和是多少，然后再乘以2，即（5+3）×2。此時，教師趁機說道：“如果我們用a，b分別表示長方形的長與寬，你能總結出此類問題的計算方法嗎？”這樣教學，學生很容易就總結出了（a+b）×2這樣的計算模型。

這個案例教師主要從創設問題情境開始，通過一系列問題的提出，并通過學生的思考探究，逐漸幫助學生建構出了計算長方形周長的數學模型，并在這種數學模型思想下舉一反三、觸類旁通，讓學生獲得更多類似的數學知識，這樣教學，簡單輕松、事半功倍，深受學生喜愛。

三、借助解決問題滲透模型思想

解決問題是小學數學教學中常見的手段，在數學模型思想的滲透上，教師如能以解決問題為原型，讓學生親身經歷數學模型產生的具體過程，那么，可以極大地豐富學生的儲存信息，讓學生在頭腦中形成一幅完整的知識建構圖，提高學生的解題能力。

如在教學《路程問題》時，教師出示習題：一輛汽車3小時行駛了270千米，如果它一直保持這樣的速度，5小時可以行駛多少千米？教師先讓學生回顧已有知識，找出解決此類問題的數學模型“速度=路程÷時間”，然后在學生將此種數學模型應用到解決數學問題之后，教師要鼓勵學生靈活對數學模型進行變通，以達到求出所求問題的目的。于是，在教師的鼓勵下，學生通過數學模型的變式得到“路程=速度×時間”，從建構數學模型到利用數學模型再到模型變式，學生真正經歷了模型思想的產生、應用及變化過程，深化了自身的思想認識。

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本節課是人教版數學五年級上冊第一單元《小數乘法》的第三課時，教學內容是課本第4～5頁例3、“做一做”，以及第8頁練的第1～5題。這是學生在學習了整數乘法、小數乘整數的基礎上，對小數乘小數首次進行算理與算法的探究。 

教學內容從解決實際問題的活動引入，分為兩個層次：①探究一位小數乘一位小數的算理與算法。②探究兩位小數乘一位小數（不需添0占位）的算理與算法。例3讓學生先嘗試根據問題情境分析數量關系，提出解決問題的辦法;然后結合以前學習的經驗猜測是否可以把“一位小數乘一位小數”看作整數來計算，在猜測計算方法的基礎上引導學生獨立完成計算并分析算理;接著獨立探究兩位小數乘一位小數的算理與算法;在完成“做一做”之后，引導學生對比歸納，完成對算法的建構。學習活動線索為猜想、嘗試、說明、驗證，學生在探究、交流活動中明晰小數乘小數的算理，掌握計算方法。 

學情分析 

第一，學生在學習本課內容前，已經掌握了整數乘法的算理與算法，理解了小數乘整數的算理，初步感悟了轉化思想在小數乘法中的價值與應用，學會了計算小數乘整數，為探究小數乘小數做好了知識技能、活動經驗、數學思想方法等準備。 

第二，五年級的學生已具備一定的分析、解決較復雜的實際問題的能力，他們能在復雜的問題情境中提取相關條件，分析數量關系，尋求解決問題的正確思路。同時，他們已經歷過多次計算方法的遷移、推理活動，能夠在大膽推測的基礎上進行計算算法的探究。 

第三，理解小數乘小數的算理是難點，需要多次轉化、推理。五年級學生的思維水平決定了他們需要借助估算、直觀圖式來判斷積的范圍，借助直觀、動態的演示活動理解算理，借助范式的語言表達來說明算理與算法，借助思維導圖來完成對學習過程的反思與提升。在獨立探究、交流對比中習得知識技能，發展數學能力。 

教學目標 

知識與技能目標：理解小數乘小數的算理，并能正確估算小數乘小數的積的范圍，正確筆算小數乘小數（積不需要添0占位）;能夠運用“小數乘小數”的計算方法解決實際問題。 

 

 

過程與方法目標：經歷估算、筆算等探究算理與算法的活動;經歷獨立猜想與嘗試、獨立筆算與驗證、合作交流等學習活動;經歷獨立推理的活動，感悟轉化數學思想方法的價值。 

情感態度與價值觀目標：形成良好的估算、計算習慣，能夠自覺地用估計的方法對計算結果進行檢驗;能夠借助思維導圖體驗新舊知識的聯系，學會遷移算法以解決新的計算問題;學會獨立反思總結知識之間的聯系，能夠較為客觀地評價學習的過程與結果。 

教學環境與準備 

本節課通過實物展臺、PPT等信息技術手段來呈現教學內容，開展學習探究活動。根據班級規模大小，按照“組內異質、組間同質”的原則，將班級學生分成2～4人的學習小組，以便他們進行討論、分析和匯報。 

教學過程 

1.準備“乘”——復習回顧舊知 

①談話引入：同學們已經知道乘法中有因數、因數、積;在上節課也已經學習了小數乘整數。那你們會計算4.08×5嗎？學生獨立筆算。 

②交流計算過程，提醒注意小數點的位置、積末尾小數部分的0要化簡。 

信息技術支持：根據學生講解的筆算過程和注意點，利用PPT完整演示筆算過程和需要注意的問題。明晰舊知的過程，直觀演示到位。 

師：如果兩個因數分別是4.08和0.5，又該怎樣計算？今天，我們就來一起研究小數乘小數。 

2.探索“乘”——探究形成新知 

①出示例題：每平方米要用油漆0.9kg。給一個長2.4m、寬0.8m的長方形宣傳欄刷油漆，一共需要多少千克油漆？教師提問：要解決什么問題？解決這些問題的條件具備嗎？可以先求出什么？再求出什么？學生獨立思考后，回答問題。 

信息技術支持：PPT呈現一問一答的方式，幫助學生根據問題線索圈出相應條件，回答每個問題，從而清晰地厘清數量關系。 

②學生列出：2.4×0.8=。課件演示：第一步，估上限。0.8個2.4，得數比2.4小。第二步，接近估。兩個因數分別看成最接近的整數：2×1=2。積大約是2。第三步，借助每一小格是邊長0.1米的正方形方格圖演示直觀算法（如圖1）。 

信息技術支持：根據學生猜想的解決問題的方法，利用PPT隨機呈現解決“2.4×0.8=”的方法，以凸顯算法的多樣化，幫助學生積累計算的經驗，為筆算做好鋪墊。 

③教師提問：怎么筆算2.4×0.8？學生獨立思考后，明確：將兩個因數同時轉化成整數，再計算。學生獨立嘗試算一算或請1～2名學生在投影下展示自己的算法，進行算法與算理的說明。重點交流：積的小數點是怎樣確定的。 

 

課件完整演示借助“積的變化規律”進行計算的過程（如圖2）。 

師：面對新的問題“小數乘小數”，我們是怎樣解決的？ 

生：將新知轉化成舊知?！煟涸鯓硬拍苤烙嬎憬Y果一定正確？ 

生：可以驗算。 

師：怎樣驗算？ 

生：估算、再算一次都可以。 

信息技術支持：整理學生的回答，用PPT動態演示加直觀講解的方式，演示轉化的過程、積的小數點確定的過程，幫助學生理解算理，學會表達算理。并且用提示語的方式，溝通新舊知識的聯系，明確驗算的需要和方法，幫助學生養成良好的計算習慣。 

④教師提問：怎樣求需要多少千克油漆？學生列出算式1.92×0.9=，并獨立嘗試估算和筆算。課件演示：第一步，估算。1.92接近2，2個0.9千克大約是1.8千克;如果每平方米用1千克，共需要1.92千克，但是實際應小于1.92千克。第二步，筆算（如圖3）。 

信息技術支持：在學生獨立嘗試計算的基礎上，整理學生的算法，PPT演示估算、筆算兩種方法，筆算的轉化過程、積的小數點確定的過程，進一步明晰算理和算法。 

⑤教師讓學生回顧是怎么解決這個問題的，總結先理清解決問題的思路，計算中可以嘗試估一估、畫一畫、算一算、驗一驗的方法。 

3.試著“乘”——初步鞏固運用 

①出示“做一做”：5.4×1.07=，0.45×0.6=，你能獨立算一算嗎？學生獨立完成。 

②課件演示計算過程（如圖4），學生校對答案，然后同桌中的一人選擇一道題說一說是怎樣算的。 

③教師提問：想一想，有哪些地方容易出錯？學生思考后明確：0.45×0.6的積應該是三位小數，整數部分添0來占位，末尾的0要化簡。 

信息技術支持：在PPT中用不同色筆和動態演示的方式，突出計算過程中的易錯點，讓學生進一步掌握算法。 

4.歸納“乘”——總結算理算法 

①出示已經完成的四道題：觀察例3與上面各題中因數與積的小數位數，你能發現什么？ 

學生獨立觀察后明確：積的小數位數是兩個因數小數位數的總和。 

②組織小組討論：小數乘法應該怎樣計算？根據學生的回答，完整展示算法（如圖5）。 

③引導學生反思：為什么可以先按照整數乘法計算？怎樣確定積的小數點的位數？學生思考后明確：依據積的變化規律來轉化并確定積的小數點的位數。 

信息技術支持：利用PPT直觀提示，幫助學生用范式的語言表達完整的算法。 

5.我來“乘”——鞏固形成技能 

①出示“闖關1”：練第3題。 

學生獨立完成后，在教師的指導下，用完整的語言表達說一說理由。 

②出示“闖關2”：練第5題。 

學生獨立分析數量關系，進行并列式解答，并集體交流。 

③課堂作業：完成練第1題、第4題。 

6.我會“學”——借助導圖反思 

師：同學們，小數乘小數的計算，今天你是怎樣學會的？有什么收獲？ 

組織小組交流的同時，通過課件演示思維導圖（如圖6）。 

信息技術支持：PPT動態演示小數乘小數的算理與算法：從“舊”知到方法再到檢驗，幫助學生形成完整的知識脈絡，構建學習路徑。 

 

7.我會“學”——評價反思與拓展學習資源 

①師：這節課你的學習效果如何？請從對本節課知識的興趣、獨立思考的習慣、學習成果的喜悅、學習方法收獲的程度四個方面做出評價吧！ 

學生獨立評價后，和小組內的其他同學互相說一說。 

信息技術支持：PPT出示的活潑有趣的評價方式，能激發學生自我反思和評價的興趣，使其客觀地評價自己的學習過程和結果。 

②師：課后大家還可以登錄手機、計算機學習平臺等，進一步學習小數乘小數的知識。 

信息技術支持：利用PPT展示了更多的學習平臺，以幫助學生拓展學習時空，接近新的學習方式。 

設計亮點 

在“互聯網+”的背景下，本節課的教學預設是運用網絡教研的形式，通過教研團隊合作共同完成微課程設計，為學生開發自主學習的新平臺和新的學習方式。本節課力求在明晰算理、掌握算法、提升計算技能等方面予以突破。 

1.基于潛在學情，為學而備 

（1）已有知識重溝通 

新課開始，從復習4.08×5這道小數乘整數的計算開始，喚起已有小數計算、探究小數計算算法的經驗。 

（2）已有計算經驗重遷移 

在復習中，提示學生：能不能根據積的變化規律進行推測，再計算？重視已有計算經驗的遷移。 

（3）已有解決問題經驗重系統化 

在新授的問題情境中，學生通過對三個問題的有序回答，明確解決稍復雜的小數乘法實際問題的一般方法，實現解決問題經驗的系統化。 

2.基于核心知識，明辨算理   本文由WWw.dYlw.net提供，第一論 文 網專業和以及服務，歡迎光臨dYLW.neT

算理是掌握計算方法的基礎。我們在教學中運用多樣算法、數形結合的方式，將算理予以明晰。 

（1）估計中明范圍 

每次計算之前都讓學生估一估，即可以估上限、下限，估范圍，估大約是多少，發展數感。 

（2）直觀中明表征 

借助方格圖幫助學生理解2×0.8與0.4×0.8的積合起來表示的就是2.4×0.8的積。 

（3）轉化中辨算理 

課件中動態演示轉化的過程和積的小數點位數確定的過程，幫助學生明確怎樣運用積的變化規律將新知轉化為舊知、怎樣確定積的小數點位置等難點。 

（4）歸納中明算法 

在完成四道試題的計算之后，組織學生對比確定積的小數位數與因數小數位數的關系，在討論交流之后完成算法的歸納。 

3.基于核心素養，發展學力 

學科知識只是獲得學科能力、發展學科素養的載體，在習得學科知識的過程中，要注重發展以下四方面的能力： 

第一，激發學習動力。練習環節用“闖關”的方式讓學生來完成對新知的鞏固練習。 

第二，培養持續學力。針對五年級學生學習新知的特點和思維的特點，用課件演示本節課核心知識形成的思維導圖，幫助學生學會建構知識學習路徑，發展學力。