數學建模感悟范文

導語：如何才能寫好一篇數學建模感悟，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公文云整理的十篇范文，供你借鑒。

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《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010—2020年）》把提高質量確定為未來十年中國教育改革發展的核心任務。“十二五”期間重慶教育發展最重要的工作之一——狠抓教育質量，深入推進素質教育。

2012年7月重慶市啟動“卓越課堂”五年行動計劃，要求分階段推進“卓越課堂”建設，力爭通過5年左右努力使全市義務教育階段學校課堂教學普遍達到“有效課堂”要求，教學質量明顯提高。緊緊抓住課堂教學這一主陣地，各區縣、學校因地制宜，積極參與到“卓越課堂”建設所提出的九大行動中。

2013年，《今日教育》開辟“卓越課堂”專欄，為“卓越課堂”建設思考與建議開啟交流的窗口，為 “卓越課堂”探索經驗搭建分享的舞臺，為打造更適合重慶本土的課堂教學“提質”路徑積聚力量。

質量是教育的生命線和永恒主題，課堂是“提質”的關鍵落腳點，為了落實“一切為了每一位學生發展”的理念，讓我們為“卓越課堂”的建設鼓與呼！

在重慶市教科院初教所、今日教育雜志社聯合舉辦的“打造卓越課堂、推進減負提質”小學數學名師示范研討活動中，有幸觀摩了榮獲全國賽課一等獎的北京市青年骨干教師孫貴合執教的“認識方程”教學。

“認識方程”歷來是小學數學學習的重點內容，由于其學習過程要實現算術思維向代數思維過渡，對于很大一部分學生來說，要在短短一節課的時間內實現這個跨越，是一個學習的難點。孫老師在教學中采用了三大策略進行突破，讓學生在學習活動中有效地經歷數學建模過程，感悟方程的數學本質。

策略一：強力著墨概念背景。在認識方程的教學過程中，常見的現象是學生能準確無誤而且熟練地說出方程的定義，但在一定的情境中就是不能運用。造成這一現象的原因是學生對方程概念產生的背景體驗不夠，只是表面地認識了方程的樣子，沒有真正地理解方程的本質。孫老師在教學過程中，將凝結在數學概念中的數學家的思維充分展開，以天平圖像和動作意象為載體，讓學生觀察、分析等式和不等量關系數學表達式的屬性，為建構方程的概念奠定厚實的背景經驗。

片段一：

師：由算式30+20=50里的等號你想到了什么？

生1：相等。

生2：我想到了天平。20+30相當于天平兩邊的物品，等號相當于天平的支點。

師在天平圖片一端放1個蘋果圖片、1個香蕉圖片，另一端放200g砝碼圖片。

師：請用數學語言表達，寫在紙條上。

生1：一個蘋果的重量+1支香蕉的重量=200g。

生2：2x=200。

生3：a+x=200。

把香蕉換成50g的砝碼。

生4：+50=200。

在天平一端加入50g砝碼后問：天平可能怎么樣？用身體語言表示一下。學生用兩臂模擬天平的變化。

師：能用數學語言表述嗎？

生：2x＜250；a+x＜200+50。

在天平圖片的左端放1個石榴、50g砝碼，右端放300g砝碼圖片。這樣會有幾種情況？用身體動作表示或在頭腦中想象，寫出式子。

生：x+50＜300；x+50＞300；x+50＝300。

在上述片段中，孫老師一開始就以簡約的天平圖片情境，讓學生感知“=”的含義，然后引導觀察天平圖像，形成相等關系和不等量關系的直觀表象，并結合用兩臂模仿天平的動作以及學生在頭腦中想象，加深相等關系和不等量關系的體會，在此基礎上引導學生用各自的方式數學地表達這些關系。在這里學生獲得了三個層次的概念背景經驗：視覺感知天平圖片中相等與不等的直接經驗，模擬動作感受相等與不等的動作經驗，頭腦想象感悟相等與不等的表象經驗。

策略二：充分經歷建模過程。學生對于方程的認識過程就是一個數學建模的過程，如何讓學生有效地建構好這個數學模型？孫老師在這節課中采用了讓學生充分經歷建模過程的策略。先是讓學生在上述片段一中觀察、模仿、想象天平的活動中，感知相等和不等量關系的現象，并引導學生用數學的方式表達，這是學生數學建模的開始。在大量積累方程背景知識的基礎上，孫老師讓學生思考分析，以分類的思維方式對天平不同情況的數學表達式進行分類，建構起清晰的方程模型。

片段二：

師：這么多的式子，同學們之間商量商量，把它們分分類。

學生討論得出如下分類。

等式：30+20=50；30+20=x，30+20=5x；30+20=20+30；一個蘋果的重量+1支香蕉的重量=200g；2x=200；a+x=200； x+50＝300。

不等量關系式：2x＜250；a+x＜200+50；x+50＜300；x+50＞300；

剩下+50=200沒分類。

師：你明白+50=200的意思嗎？

生：也表示相等關系。（把+50=200挪到等式類）

師：根據這些等式的特點，你還可以進一步分類嗎？（學生獨立思考后交流分類）

生1：分類后說“是未知數和不是未知數的”。

師：有未知數，沒有未知數吧。

生2：按含有未知數和不含有未知數分。

含有未知數：30+20=x，30+20=5x；一個蘋果的重量+1支香蕉的重量=200g；2x=200；a+x=200；x+50＝300；+50=20。

不含有未知數：30+20=50；30+20=20+30。

師：（手指著含有未知數的等式）這些等式叫作方程。大家說一說，什么是方程？

生：含有未知數的等式叫方程。

上述教學，學生對數學表達式進行了兩次分類：第一次分為等式和不等式，第二次把等式分為含有未知數和不含有未知數的，從而得出方程概念的意義。這一環節與片段一融合為一體，加上課尾現實情境中用方程解決問題的環節，完整地呈現出了“問題情境——建立模型——求解驗證”數學建模的全部過程，體現了《義務教育數學課程標準（2011年版）》中所提出的模型思想的基本要求，有利于學生在這個過程中理解、掌握有關方程的知識、技能，積累數學思維活動經驗，感悟模型思想的本質，更有利于促進學生從數學的視角去發現、提出、分析、解決問題，培養創新意識。

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關鍵詞：模型思想；初中數學教學；意義；環節；策略

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2015）11-0257-02

多年來，我國數學教育重視數學理論的學習，輕視數學的實踐應用，缺乏對數學知識的背景介紹與應用訓練。近年來，社會輿論對中學生數學應用意識淡薄、數學應用能力低下的狀況表示不滿，敦促我國數學教育界采取有效措施以改變此種狀況，提出了加強中小學生數學應用意識、提升其數學應用能力的改革要求。對中小學生實施適當的數學建模教育，能在一定程度上平抑社會輿論對數學教育的不滿，消解社會對數學教育的壓力，順應社會對數學教育的要求。

就目前我國初中數學教學情況來看，由于學生難以掌握數學模型的思想，導致其無法真正應用模型解決數學實際問題，制約了學生數學實踐應用能力的提高。在新課標背景下，數學教學更注重數學知識與外界的聯系，發展學生思維邏輯能力和實踐應用能力成為數學教育的首要目標。在新課標環境下，初中數學老師應轉變傳統的教學觀念，以人為本，始終堅持培養學生的模型思想，調動學生學習的積極性和創造性，從而促進其全面發展。

1.培養數學模型思想的意義

1.1數學建模是對現象和過程進行合理的抽象和量化，然后應用數學公式進行模擬和驗證的一種思維。它是人類在探索自然社會的運作中所運用的最有效方法，也是數學應用于科學技術與社會的最基本的途徑。

1.2數學建模的重要性由于數學所特有的本質屬性使數學教育本質上是素質教育，而數學建模的問題，大都貼近生活，關注社會熱點，沒有現成的答案，沒有固定的方法，沒有指定的參考書，沒有規定的數學工具，主要靠學生獨立思考，反復鉆研并相互切磋，去形成相應的數學問題，尋求解決問題的方法，得出有關的結論，并判斷結論的對錯與優劣。這里鼓勵奇思怪想，提倡獨辟蹊徑、標新立異。它使同學們直接介入了數學的發現與創造的過程中去，每一步都是挑戰，每一步都需要創新。因此，數學建模是實施素質教育的有效途徑。

1.3初中數學建模教學的意義數學建模不同于傳統的數學課，用數學方法解決種種面臨的實際問題，是一個必要的準備和鍛煉，這是他們成為社會需要的優秀人才必不可少的能力和修養

（1）數學建模是數學應用于科學技術與社會的最基本的途徑；（2）數學建模思想的滲透是符合學生認知過程發展規律；（3）數學建模思想的滲透改變了數學教育的價值取向；（4）數學建模思想的滲透；（5）數學建模思想的滲透可培養和提高學生的數學素質，以改變數學教學長期以來以應試教育為主的局面；可以激發學生的參與探索的興趣。

2.數學建模應用的基本環節

2.1創設問題情景，激發求知欲：根據具體的教學內容，從學生的生活經驗和已有的知識背景出發，選編合適的實際應用題，讓學生帶著問題在迫切要求下學習，為知識的形成做好情感上的準備，并提供給學生充分進行數學實踐活動和交流的機會。

2.2抽象概括，建立模型，導入學習課題：通過學生的實踐、交流，發表見解，搜集、整理、描述，抽象其本質，概括為我們需要學習的課題，滲透建模意識，介紹建模方法，學生應是這一過程的主體，教師適時啟發，介紹觀察、實驗、猜測、矯正與調控等合情推理模式，成為學生學習數學的組織者、引導者、合作者與共同研究者。

2.3研究模型，形成數學知識：對所建立的模型，靈活運用啟發式、嘗試指導法等教學方法，以教師為主導，學生為主體完成課題學習，形成數學知識、思想和方法，并獲得新的數學活動經驗。

2.4解決實際應用問題，享受成功喜悅：用課題學習中形成的數學知識解答開始提出的實際應用題。問題得以解決，學生能體會到數學在解決問題時的實際應用價值，體驗到所學知識的用途和益處，成功的喜悅油然而生。

2.5歸納總結，深化目標：根據教學目標，指導學生歸納總結，拓展知識的一般結論，指出這些知識和技能在整體中的相互關系和結構上的統一性，使學生認識新問題，同化新知識，并構建自己的智力系統。同時體會和掌握構建數學模型的方法，深化教學目標。此外，通過解決我國當前亟待解決的緊迫問題，引導學生關心社會發展，有利于培養學生的主體意識與參與意識，發揮數學的社會化功能。

3.教學策略

3.1教學中逐步滲透和建立數學模型思想。學生對模型思想的感悟需要經歷一個長期的過程，在這一過程中，學生總是從相對簡單到相對復雜，從相對具體到相對抽象，逐步積累經驗，掌握建模方法，逐步形成運用模型去進行數學思維的習慣。初中數學模型教學主要是結合相關概念學習，引導學生運用函數、不等式、方程、方程組、幾何圖形、統計表格等分析表達現實問題。模型思想的感悟應該蘊涵于概念、命題、公式、法則的教學之中，并與數感、符號感、空間觀念等培養緊密結合。模型思想的建立是一個循序漸進的過程。

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關鍵詞：小學數學；建模思想；滲透；策略

一、體會累積表象

有效地體會模型所關注的對象，這是建立數學模型的基礎和前提條件。在許多具備共性的同一類事物當中，將這一系列事物的內在關系與特點加以抽象，從而累積一定的表象經驗。教師需要重視情境的創設，將大量的感性素材提供給學生，借助各種手段，全面和系統地對事物的相互關系或者是特點進行體會，這有利于建模的準確性。比如，教師指導學生認識分數的時候，為了更加有效地指導學生建立模型，教師可以啟發學生對一系列的事物進行觀察，就像是不同水杯當中的水、平均分的紙張、分成兩半的月餅以及孫悟空能夠伸縮變化的金箍棒等等，以引導學生從各個視角進行觀察，不僅僅限制于思考長度，還應當從體積、面積、質量、個數等方面進行分析，從而使學生明確整體和部分之間的關系，累積表象，最終具備一定的感性認知，指導學生實現分數的

建模。

二、注重思想和提煉方法，使建模的過程得以優化

無論是建立數學概念以及發現數學規律，還是解決數學問題，最為關鍵的一點就是建構數學思想方法，這是由于它是建立數學模型的靈魂。比如，教師在講解關于圓柱體積知識的時候，在建構體積公式模型的過程當中應當注重相應的“數學思想方法” 的建模。一方面就是轉化，這跟以往的學習經驗具有一致性的地方，也就是未知向已知的轉化。另一方面就是極限思想，這是類似于將圓形向長方形轉化，這是一系列表面上不同形態思維背后所蘊藏的一致的具備概括性的數學思想方法，注重體驗和提煉數學思想方法，從而促進數學模型的構建，并且最終能夠使得構建的理性高度得以提升。

綜上所述，數學的發展從“有關數的科學”到“有關空間形式與數量關系的科學”再到“有關模型的科學”，這個過程是不斷發展變化的。為此，作為一名小學數學教師，一定要適應這種發展的需要，注重增強學生的數學建模觀念，從而有效地培養學生的數學建模能力，大大提高教學質量。

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關鍵詞：數學建模 數學應用意識 數學建模教學

一、數學建模是從現實問題中建立數學模型的過程。

在對實際問題本質屬性進行抽象提煉后，用簡潔的數學符號、表達式或圖形，形成便于研究的數學問題，并通過數學結論解釋某些客觀現象，預測發展規律，或者提供最優策略。它的靈魂是數學的運用并側重于來自于非數學領域，但需要數學工具來解決的問題。這類問題要把它抽象，轉化為一個相應的數學問題，一般可按這樣的程序：進行對原始問題的分析、假設、抽象的數學加工。數學工具、方法、模型的選擇和分析。模型的求解、驗證、再分析、修改假設、再求解的迭代過程。

數學建模可以提高學生的學習興趣，培養學生不怕吃苦、敢于戰勝困難的堅強意志，培養自律、團結的優秀品質，培養正確的數學觀。具體的調查表明，大部分學生對數學建模比較感興趣，并不同程度地促進了他們對于數學及其他課程的學習.有許多學生認為："數學源于生活，生活依靠數學，平時做的題都是理論性較強，實際性較弱的題，都是在理想化狀態下進行討論，而數學建模問題貼近生活，充滿趣味性；數學建模使我更深切地感受到數學與實際的聯系，感受到數學問題的廣泛，使我們對于學習數學的重要性理解得更為深刻"。數學建模能培養學生應用數學進行分析、推理、證明和計算的能力；用數學語言表達實際問題及用普通人能理解的語言表達數學結果的能力；應用計算機及相應數學軟件的能力；獨立查找文獻，自學的能力，組織、協調、管理的能力；創造力、想象力、聯想力和洞察力。由此，在高中數學教學中滲透數學建模知識是很有必要的。

二、那么當前我國高中學生的數學建模意識和建模能力如何呢？

學生數學建模意識和建模能力的現狀不容樂觀。學生在數學應用能力上存在的一些問題：（1）數學閱讀能力差，誤解題意。（2）數學建模方法需要提高。（3）數學應用意識不盡人意數學建模意識很有待加強。新課程標準給數學建模提出了更高的要求，也為中學數學建模的發展提供了很好的契機，相信隨著新課程的實施，我們高中生的數學建模意識和建模能力會有大的提高！

三、那么高中的數學建模教學應如何進行呢？

數學建模的教學本身是一個不斷探索、不斷創新、不斷完善和提高的過程。不同于傳統的教學模式，數學建模課程指導思想是：以實驗室為基礎、以學生為中心、以問題為主線、以培養能力為目標來組織教學工作。通過教學使學生了解利用數學理論和方法去分折和解決問題的全過程，提高他們分折問題和解決問題的能力；提高他們學習數學的興趣和應用數學的意識與能力。數學建模以學生為主，教師利用一些事先設計好的問題，引導學生主動查閱文獻資料和學習新知識，鼓勵學生積極開展討論和辯論，主動探索解決之法。教學過程的重點是創造一個環境去誘導學生的學習欲望、培養他們的自學能力，增強他們的數學素質和創新能力，強調的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是知識與結果。

中學數學建模的目的旨在培養學生的數學應用意識，掌握數學建模的方法，為將來的學習、工作打下堅實的基礎。在教學時將數學建模中最基本的過程教給學生：利用現行的數學教材，向學生介紹一些常用的、典型的數學模型。如函數模型、不等式模型、數列模型、幾何模型、三角模型、方程模型等。教師應研究在各個教學章節中可引入哪些數學基本模型問題，如儲蓄問題、信用貸款問題可結合在數列教學中。教師可以通過教材中一些不大復雜的應用問題，帶著學生一起來完成數學化的過程，給學生一些數學應用和數學建模的初步體驗。

四、在教學的過程中，引入數學建模時還應該注意以下幾點

應努力保持自己的"好奇心"，開通自己的"問題源"，儲備相關知識。這一過程也可讓學生從一開始就參與進來，使學生提高自學能力后自我探究。

將數學建模思想引入數學課堂要結合實際，這是關鍵。學生在課堂中解決的實際問題即建模材料必須經過一定的加工，否則有可能過于復雜，有些問題的數學結論可能偏離生活實際太多，也很正常。

數學課堂中的建模能力必須與相應的數學知識結合起來。同時還應該通過解決實際問題（建模過程）加深對相應的數學知識的理解。

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數學課程標準明確指出：“重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。”因此，在數學教學中教師就必須指導和幫助學生構建相應的數學模型，使他們能夠運用合適的模型，科學地分析問題，解決簡單的數學問題。

一、喚醒生活經驗，在事理中建模

小學生的數學學習始終建立在生活常識、經歷個體經驗基礎之上，它是學生理解數學知識、形成數學能力的基本力量，也是形成數學思維、建構數學模型的源頭活水。所以在教學中教師就得選取學生熟悉的生活素材為教學資源，讓學生在數學活動中感悟解決問題的方式，掌握數學模型的基本雛形。

如，在三年級“認識一位小數”的教學中，教師就利用學生已有的生活經驗，讓學生建構對應的認知模型，把握一位小數的本質。首先，引導學生回憶超市購物中看到過的商品標簽，課件展示學生的匯報：簽字筆3元，美工刀2元8角，信封0．6元。教師針對“0．6元”提問：“誰知道0．6元是怎么付錢的嗎？”學生很自然地說出0．6元是6角。同時利用板書“6角＝0．6元”強化學生感知。其次，引導學生比較0．6元與1元的關系，再通過長方形圖來理解0．6元、0．5元等，使學生感悟到把長方形平均分成10份，涂1份是0．1，涂5份是0．5等，使對應的數量關系逐步在學生的腦海中形成，這就是數學模型的架構。再次，引導學生解讀“美工刀2元8角”，學生會在學習經驗積累的影響下直覺地感知到它是2．8元，通過合作學習能夠學會用長方形來表示2．8元。緊接著繼續引導學生思考3．4元、1．7元等，讓學生在圖中畫，畫后說，逐漸把握分數與小數之間的內在聯系。

這是緊扣知識間的聯系而組織的教學，教師給予學生探索的機會，借助購物的場景、付錢的方式，再利用分長方形、涂長方形等活動強化，逐步幫助學生建立起了一位小數的“直觀模型”——長方形平均分成10等份，涂色幾份就是零點幾；如果是幾個長方形和一個長方形中涂色幾份，就是幾點幾等。這個模型的建構，為學生今后深入學習兩位小數、三位小數奠定了堅實的基礎。

二、喚醒學習經驗，在遷移中建模

用活學生的經驗和認知儲備，并有效擴展到新知的探索研究中，這就是遷移規律對學生學習產生的深遠意義。因此，教師就得根據教材的編排意圖，學生的認知結構和建模經驗等情況，創設適宜的情境，為學生深入學習搭建必要的操作平臺，促使學生運用知識、技能、經驗、思想方法去感悟新知識，研究新知識。

如，在“雞兔同籠”數學活動課的教學中，首先，通過適當的引領，學生能夠運用假設法、畫圖法等策略理清其中的數學原理，把握準對應的數學關系。接著，教師話鋒一轉：“你見過把雞和兔放在一個籠子里飼養的嗎？”并引出“百僧百只饅頭”、“龜鶴同游”、“人狗同行”等古老的問題，學生在思考中獲得感悟：這是一類數學問題，而不是一種真實的生活。為此，引入新問題的探討：有8角的郵票和1．2元的郵票一共20張，共有面值16元。8角的郵票和1．2元的郵票各有多少張？雖然是不同的題例，但會促使學生自然地把它與雞兔同籠問題聯系起來，學生會聯想到6條腿的怪雞和12條腿的怪兔，這就是數學解題思想的模型。學習的拓展、方法的遷移，有助于學生建立相應的數學模型，能夠提升學生舉一反三、觸類旁通的能力，為學生順利地行走在數學學習的自由王國中積淀力量。

三、喚醒訓練經驗，在應用中建模

學生在解決問題中積累相應的數學活動經驗，在訓練中建立對應的數學模型，同時，用所建立的數學模型來解決簡單的實際問題，就能在具體應用中體會數學模型的實際價值，培養自身的數學應用意識。

如，三年級的一道練習題 “小明每分鐘走60米，他5分鐘走多少米？8分鐘，12分鐘呢？”常規的教學是就題解題，一做了事。這種學習模式不利于數學模型建立，更不利于用數學知識去解決更多的問題。所以在教學中先讓學生說出自己是如何做的，讓學生在描述中逐步掌握“速度×時間＝路程”這一數量關系。其次，引導學生把這個等量關系式進行發散變換，實現舉一反三的學習目的。再次，設計變式訓練“小明6分鐘行420米，那他15分鐘行多少米？汽車上午9：00出發，下午2：00到達目的地，每小時行85千米，汽車一共行了多少千米？”雖然訓練的形式不同，但它們都是用同一個數學模型進行解答的，學生從中知道數學模型的應用價值，會更加自覺地對學習進行梳理，從而培養學生獨立思考的習慣。

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學生的想象力是非常豐富的，這對數學建模來說是很有利的。所以教學時要充分發揮學生的想象力，讓學生通過小組合作來進一步加深對問題的理解。我們要求的是兩車相遇的時間，那么我們可以通過設一個未知數來代替它。根據速度×時間=路程，可以假設時間為x小時，根據題意列出方程：65x+55x=270

二、學生對簡化的問題進行求解

第三步，就是要給剛才列出的方程，進行變形處理，變成學生熟悉的，易于解答的算式，如上題可以通過乘法分配律將等式寫成120x=270，利用乘法算式各部分間的關系，積÷一個因數=另一個因數，得x=2.25。有的方程并不是通過一步就能解決，這時就顯示了簡化的重要性，需對方程進行一定的變形、轉化。

三、展示和驗證數學模型

當問題解決后，就要對建立的模型進行檢驗，看看得到的模型是否符合題意，是否符合實際生活。如上題檢驗需將x=2.25帶入原式。左邊=65×2.25+55×2.25=270，右邊=270。左邊=右邊，所以等式成立。在這個過程中，可以體現出學生的數學思維過程與其建模的邏輯過程。教師對于學生的這方面應進行重點肯定，并鼓勵學生對同學間的數學模式進行點評。一般而言，在點評時要求學生把相互間的模式優點與不足都要盡量說出來，這是一種提高學生對數學語言運用能力與表達能力的訓練，也能讓學生在相互探討的過程中，得以開啟思路，博采眾長。

四、數學模型的應用

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關鍵詞：數學課程標準；數學建模；知識結構；建模意識

一、前言

所謂的數學模型，是指對于現實世界的某一特定研究對象，為了某個特定的目的，在做了一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，并通過數學語言表述出來的一個數學結構。[1]簡言之，數學模型是用數學語言對部分現實世界的描述.[2]數學建模就是構造數學模型的過程，即用數學的語言—公式、符號、圖表等刻畫和描述一個實際問題，然后經過數學的處理——計算、迭代等得到定量的結果，以供人們分析、預報、決策和控制[3]   

二、在小學階段開展數學建模的做法

1.滲透數學建模思想

在常規的數學課堂教學中適時地滲透建模思想，切入應用問題，使學生所學知識更系統、更完善。例如，教學“長方形、正方形的周長”一課，在鞏固環節，教師出示由鐵絲圍成的不規則圖形：“誰能幫助老師想想辦法，利用今天我們所學的知識計算這個鐵絲圈的周長？”開始學生面面相覷，接著幾個同學開始議論，教師適時提出小組合作研究。學生研究的成果有些出人意料：

把鐵絲圈拉成一個長方形或正方形，測量出它的長和寬，然后計算出長方形或正方形的周長，就是鐵絲圈的周長。

把鐵絲圈剪斷后拉直，直接用尺量。

取一根棉線沿著鐵絲圈繞一周，并作好記號，把棉線拉直后，用尺量出棉線的長度，就是鐵絲圈的長度。

通過設想、嘗試、交流，既是對學生的智慧的考驗，更是對學生的團結合作精神的考驗。

2.舉行數學建模專題課

讓學生了解建模的基礎知識，感受建模過程。讓學生了解數學的內在聯系，經歷從不同角度研究同一問題的過程。初步獲得對數學的整體認識。

以下是在小學高年級舉行的“鐘面上的數學問題”的一堂建模課：

（1）情境與問題。出示一個時鐘（沒有秒針），請學生觀察鐘面，提出問題。

學生的問題很多：現在是下午4點12分，時針與分針的夾角是幾度？下課時，分針與時針的夾角是幾度？幾點幾分，時針與分針的夾角是直角？

于是，老師提出就時針與分針的夾角問題來研究探討。

（2）建模與求解。因為這是有一定難度的建模問題，因此，老師首先要進行總的指導。為了研究方便，我們不妨設某一時刻為n時m分，時針與分針的夾角為x度，同學們能不能拿出自己的方案呢？

有學生說：“在那一時刻，迅速取出鐘內的電池，讓時針與分針停止走動，拿出量角器量出夾角的度數。

這個方案馬上遭到了其他同學的反對：這個方法不夠準確，我們可以想辦法計算出夾角的度數。

接下來的時間，師生進行探討與交流：鐘面上有12大格，60小格，時針1小時走一大格是360÷12=30度；分針一小時走一周是360度，時針一分鐘（1/60小時）走30×（1/60）=1/2度，分針1分鐘走一小格是360÷60=6度。所以n時m分可以看作時針走了（n+m/60）小時，即30×（n+m/60）=（30n+m/2）度；分針走了m分鐘，即6×m=6m度。所以n時m分時針與分針的夾角（從0時0分始，順時針方向看首針與次針所夾的角。0時0分夾角為0度，12時0分為360度）的度數:x=30n+m/2-6m=30n-5.5m（首針為分針），或x=6m-（30n+m/2）=5.5m-30n（首針為時針）。

（3）實際問題的解。經過以上的討論，學生們建立了關于求鐘面上指針夾角的模型，并寫成了數學公式，下面就是對模型的運用：

下午4點12分，分針與時針夾角的度數：

解： x=30n-5.5m=30×4-5.5×12=120-66=54。

下課時（下午4點50分），時針與分針的夾角的度數：

解： x=5.5m-30n=5.5×50-30×4=275-120=155。

3.組織數學建模課外活動

讓學生在活動中體會數學應用，提高他們分析問題、解決問題及創新的能力。例如，在學習“小數的初步認識”后，教師讓學生利用雙休日去超市為自己選購春游的食物，要求在不超過規定錢數的情況下，比一比誰的購物方案最合理。周一回校，同學們紛紛拿出了自己購物時的收銀單，自發地相互交流購物情況，甚至產生激烈辯論。在實踐與辯論中，同學們不知不覺地將所學知識運用到了實際生活中，并懂得了合理購物。學以致用是教學的最終目的。

三、結語

建模教學有利于激發學生學習數學的興趣，豐富學生數學探索的情感體驗；有利于學生自覺檢驗、鞏固所學的數學知識，促進知識的深化、發展；有利于學生體會和感悟數學思想方法。堅持數學建模教學，不但使學生逐漸地深化對模型的理解，也使學生自然地養成從不同的問題情境中找出同一結構關系的數量模型的行為習慣，從而也就有可能使學生日后面對不熟悉的問題的實際情況時，學會像數學家那樣進行“模型化”的數學處理的意識和能力。

參考文獻：

[1]葉其孝.中學數學建模[M].長沙:湖南教育出版社,1998.

篇8

【關鍵詞】 數學教學；數學建模；數學化；數學思想

一、問題的提出

筆者在小學負責了為期10周的學生實習指導工作，經過聽課（聽實習生上課、聽小學數學老師上課）、評課、指導實習生和參加小學數學的教研活動等，發現教師在教學過程存在一定的問題：第一，通過創設的問題情境提出的問題傳統而又封閉，使學生缺乏進一步探究的興趣；第二，教學過程中大都強調數學的結果，忽視知識的形成過程，大部分學生不會舉一反三；第三，教師在教學過程中過分強調程式化和模式化；第四，教師為完成認知目標，新課講解過程中由教師給學生歸納各種解題類型，怕影響教學進度，不愿意多花時間讓學生自主探究；第五，大量的家庭作業和課堂作業的布置，使學生陷入題海中，為完成作業學生只會模仿，套用現成模式解題減少了學生自己思考的機會，這一系列問題嚴重制約了學生數學建模能力的培養.

二、建模與數學教學

模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義. 一切數學概念、公式、規律、法則均可視為數學模型. 結合新理念下的小學數學教學過程基本模式：問題情境——建立模型——求解——解釋與應用——拓廣、反思，數學教學過程應該從學生已有的生活知識經驗出發，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程. 那么如何在小學數學教學中培養學生數學建模能力，可以從以下幾個方面嘗試.

三、培養學生數學建模能力的策略

（一）聯系生活實際，巧設問題情境，讓學生經歷“數學化”過程，讓學生充分感知數學建模的趣味性

所謂“數學化”， 是指學習者從現實的情境出發，經過歸納、抽象和概括等思維活動，尋找數學模型得出數學結論的過程. 簡單地說，將生活原型抽象成數學模型就是數學化. 教師要善于從學生的生活中收集信息，應用學生這些可感、可觀、可觸的感性材料抽象出數學問題進行教學，相對于學生模仿和死記硬背的機械學習要生動有趣得多. 所以，數學教學要從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將生活原型抽象成數學模型，如教學“0的認識”，老師引導學生盤子里兩個蘋果用“2”表示，吃掉一個蘋果，剩下一個蘋果用“1”表示，把剩下的一個蘋果再吃掉，盤子里一個也沒有了，用什么數字表示？教師通過從有到無的動態演示，讓學生討論，最后揭示什么也沒有可以用“0”表示. 又如“角的初步認識”，教師通過很多學生都親身經歷過的玩滑梯、紅領巾、三角板等，抽象出角的概念進行教學. 我一位實習學生教學“周長”，她首先在黑板上寫一個“周”字，問同學們認識嗎？認識的話就用“周”組詞，同學們雖然很疑惑（數學課怎么變成語文了？）但很快就組詞周圍、四周、周身，等等，老師因勢利導，通過師生討論“周”的意義，引出周長課題，此時，學生恍然大悟，激發了學生進一步學習的欲望. 這樣的教學貼近學生生活，讓學生體驗了“數學化”的過程，學生在學習數學知識的同時讓學生感覺數學看得見、摸得著，就在自己身邊，從而對數學建模產生濃厚的興趣.

（二）巧用數學思想的一般化思想構建數學模型，化難為易，讓學生感受數學建模的優越性

數學思想是指在數學活動中對數學現象產生的理性認識，它是對數學事實與數學理論的本質認識. 而數學思想中的一般化思想具有化難為易、去表就里的優點和優勢. 培養學生的數學建模能力涉及的不僅僅是單純的數學學科知識，更是涉及數學知識中蘊含著的眾多的數學思想方法，思想方法是數學概念建立，數學規律發現，數學問題解決的核心，是數學模型的靈魂.

例如，在平面上畫3條直線，每兩條直線都不重合，那么最多可以形成多少個交點？如果滿足題意的直線畫10條，最多可以形成多少個交點？小學生遇到這樣的問題時，通常都會在紙上嘗試畫3條所成的交點數，但是畫10條直線，而后試圖數出交點的個數，這樣的做法很難得到正確答案，交點實在太多，如果這時教師引導學生從特殊到一般的思想進行分析解決問題，1條直線發現沒有交點，2條直線最多形成一個交點，3條直線是在兩條直線的基礎上又加一條直線，通過分析，最多有3個交點，于是構建數學模型：如下表

由上表可以看出，交點個數隨著直線條數的變化而變化規律，利用數學中一般化思想引導學生進行數學建模，為現實的數學問題找到了捷徑，就算再多的直線也不怕了，這樣類似的問題還如線段AB上有3個點時共有多少條線段？當有10個點時又有多少條線段？等等. 因此，解題過程中正確運用數學思想構建數學模型，能夠化難為易，讓學生感受到數學建模解題的優越性.

（三）應用數學模型解決實際問題，讓學生感悟數學建模的魅力

小學生數學學習的最終目的是利用數學模型解決一些簡單的實際問題. 教學過程中，《數學課程標準》也指出：“要讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋和應用的過程. ”課堂教學中，教師要引導學生從生活實際出發，加強生活積累，從生活的角度去理解數學模型，并逐步養成用數學模型去分析現實生活中的問題，在生活中感受數學，理解數學，體驗數學. 在學習圓的面積S=πr2（π為圓周率，r為圓的半徑）后，一位教師設計了這樣的問題：“算一算，學校操場上白楊樹樹干的橫截面積？”同學們經過討論，一種說法：算圓的面積一定要先知道半徑，把樹砍掉之后測量半徑；第二種說法：只要想辦法量出樹干的周長，再由周長公式求出圓的半徑，然后應用面積公式算出白楊樹橫截面積. 第一種方法砍樹不劃算，贊成第二種方法解決問題. 學生在經歷白楊樹的橫截面積的求解過程后，既能理解知識、鞏固知識和掌握知識，還能培養學生的創新意識和應用意識，最重要的是讓學生感覺到數學模型從生活中來又應用于生活. 所以在數學教學中，教師要善于引導學生去探索、發現，將生活中的問題轉化為數學模型，培養學生用數學模型解決實際問題，讓學生充分感悟到數學建模的魅力.

除此之外，小學數學課堂教學中，教師通過不斷激發小學生的建模興趣、提高學生的閱讀和理解能力、培養學生的數學語言能力和動手操作的能力，提供獨立進行數學建模的機會，幫助學生在自主探索和合作交流的過程中，真正理解和掌握基本的數學知識和技能、數學思想和方法，都有助于培養學生數學建模能力.

四、結束語

總之，在小學數學教學中，小學生建構數學模型的過程是師生雙方交互作用和共同發展的過程，小學生是主動探索知識的“建構者”，并非模仿者，學生是學習的主體，認識的主體，發展的主體，在小學數學課堂中，教師要把“學”的權利還給學生，把“想”的時間交給學生，建立一種互動、和諧、教學相長的師生關系，讓學生自信地學習，大膽地建構，給他們思想的自由、創作的自由.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準[M]. 北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]劉朝暉.現代小學數學課程教學的基本原理與方法[M].北京：清華大學出版社，2011.

篇9

【關鍵詞】：數學建模；數學應用意識；數學建模教學

中圖分類號：G623.5

數學建模是從現實問題中建立數學模型的過程.在對實際問題本質屬性進行抽象提煉后，用簡潔的數學符號、表達式或圖形，形成便于研究的數學問題，并通過數學結論解釋某些客觀現象，預測發展規律，或者提供最優策略.它的靈魂是數學的運用并側重于來自于非數學領域，但需要數學工具來解決的問題.這類問題要把它抽象，轉化為一個相應的數學問題，一般可按這樣的程序：進行對原始問題的分析、假設、抽象的數學加工.數學工具、方法、模型的選擇和分析.模型的求解、驗證、再分析、修改假設、再求解的迭代過程.

那么高中的數學建模教學應如何進行呢？數學建模的教學本身是一個不斷探索、不斷創新、不斷完善和提高的過程。不同于傳統的教學模式，數學建模課程指導思想是：以實驗室為基礎、以學生為中心、以問題為主線、以培養能力為目標來組織教學工作。通過教學使學生了解利用數學理論和方法去分折和解決問題的全過程，提高他們分折問題和解決問題的能力；提高他們學習數學的興趣和應用數學的意識與能力。數學建模以學生為主，教師利用一些事先設計好的問題，引導學生主動查閱文獻資料和學習新知識，鼓勵學生積極開展討論和辯論，主動探索解決之法。教學過程的重點是創造一個環境去誘導學生的學習欲望、培養他們的自學能力，增強他們的數學素質和創新能力，強調的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是知識與結果。

一、在教學中傳授學生初步的數學建模知識。

中學數學建模的目的旨在培養學生的數學應用意識，掌握數學建模的方法，為將來的學習、工作打下堅實的基礎。在教學時將數學建模中最基本的過程教給學生：利用現行的數學教材，向學生介紹一些常用的、典型的數學模型。如函數模型、不等式模型、數列模型、幾何模型、三角模型、方程模型等。教師可以通過教材中一些不大復雜的應用問題，帶著學生一起來完成數學化的過程，給學生一些數學應用和數學建模的初步體驗。

二、培養學生的數學應用意識，增強數學建模意識。

學生的應用意識體現在以下兩個方面：

一是面對實際問題，能主動嘗試從數學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略，學習者在學習的過程中能夠認識到數學是有用的。

二是認識到現實生活中蘊含著大量的數學信息，數學在現實世界中有著廣泛的應用，生活中處處有數學，數學就在他的身邊。

在教學的過程中，引入數學建模時還應該注意以下幾點：應努力保持自己的"好奇心"，開通自己的"問題源"，儲備相關知識.這一過程也可讓學生從一開始就參與進來，使學生提高自學能力后自我探究.

將數學建模思想引入數學課堂要結合實際，這是關鍵.學生在課堂中解決的實際問題即建模材料必須經過一定的加工，否則有可能過于復雜，有些問題的數學結論可能偏離生活實際太多，也很正常.

數學課堂中的建模能力必須與相應的數學知識結合起來.同時還應該通過解決實際問題（建模過程）加深對相應的數學知識的理解.

其次，關于如何培養學生的應用意識：在數學教學和對學生數學學習的指導中，介紹知識的來龍去脈時多與實際生活相聯系。例如，日常生活中存在著"不同形式的等量關系和不等量關系"以及"變量間的函數對應關系"、"變相間的非確切的相關關系"、"事物發生的可預測性，可能性大小"等，這些正是數學中引入"方程"、"不等式"、"函數""變量間的線性相關"、"概率"的實際背景。另外鍛煉學生學會運用數學語言描述周圍世界出現的數學現象。數學是一種"世界通用語言"它能夠準確、清楚、間接地刻畫和描述日常生活中的許多現象。應讓學生養成運用數學語言進行交流的習慣。

三、在教學中注意聯系相關學科加以運用

在數學建模教學中應該重視選用數學與物理、化學、生物、美學等知識相結合的跨學科問題和大量與日常生活相聯系（如投資買賣、銀行儲蓄、測量、乘車、運動等方面）的數學問題，從其它學科中選擇應用題，通過構建模型，培養學生應用數學工具解決該學科難題的能力。例如，高中生物學科以描述性的語言為主，有的學生往往以為學好生物學是與數學沒有關系的。他們尚未樹立理科意識，缺乏理科思維。比如：他們不會用數學上的排列與組合來分析減數分裂過程配子的基因組成；也不會用數學上的概率的相加、相乘原理來解決一些遺傳病機率的計算等等。這些需要教師在平時相應的課堂內容教學中引導學生進行數學建模。因此我們在教學中應注意與其它學科的呼應，這不但可以幫助學生加深對其它學科的理解，也是培養學生建模意識的一個不可忽視的途徑。又例如教了正弦函數后，可引導學生用模型函數寫出物理中振動圖象或交流圖象的數學表達式。

建模教學的目的是為了培養學生用數學知識去觀察、分析、提出和解決問題的能力，展示學生多方面的數學思維能力，培養其創新意識，讓學生體會發現問題、探究問題、解決問題的快樂.數學建模是數學學習的一種新的方式，它為學生提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與日常生活和其他學科的聯系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應用意識.高中數學課程中的數學建模與數學探究的不同之處是它更側重于非數學領域需用數學工具來解決的問題.數學建模的能力是伴隨著數學建模的學習和數學建模的能力逐漸形成的，是伴隨著對數學理解和感悟的加深，數學意識的增強、綜合知識的拓寬逐漸提高的.不是懂數學就會建模，也不可能拋出個實際問題，搞一次建模活動即一蹴而就，更不能不切實際地指望在高三畢業前緊張的教學期間將數學一網打盡.而是在數學建模的教學上應該從高一抓起，從平時的教學抓起，從新教材的各個模塊抓起.

最后，為了培養學生的建模意識，中學數學教師應首先需要提高自己的建模意識。中學數學教師除需要了解數學科學的發展歷史和發展動態之外，還需要不斷地學習一些新的數學建模理論，并且努力鉆研如何把中學數學知識應用于現實生活。中學教師只有通過對數學建模的系統學習和研究，才能準確地的把握數學建模問題的深度和難度，更好地推動中學數學建模教學的發展。

【參考文獻】

【1】《問題解決的數學模型方法》北京師范大學出版社，1999.8

【2】普通高中數學課程標準（實驗），人民教育出版社，2003.4

篇10

從理論上來說，數學模型就是為了某種目的，用字母、數字及其他數學符號建立起來的等式、不等式、圖表框圖等，用來描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學語言。

換句話說，數學模型一般是實際事物的一種數學簡化，它常常是以某種意義上接近實際事物的抽象形式存在的，但它和真實的事物有著本質的區別。要描述一個實際現象可以有很多種方式，比如錄音、錄像等。為了使描述更具科學性、邏輯性、客觀性和可重復性，人們采用一種普遍認為比較嚴格的語言來描述各種現象，這種語言就是數學語言，使用數學語言描述的事物就稱為數學模型。

例如，1+1=2就是個數學模型，這里的“1”就可以指代世上任何形式的事與物，但是它必須是建構在嚴格的1、2、3、4……這樣的“序數”基礎上描述的“基數”現象。換句話說，小孩子必須知道數“數”才可以“計算”諸如1+1=2、2+3=5這樣的數學等式。這里

的“算式”就是將具體的問題：“基數”轉換描述它的數學框架“序數”的數學模型。這個過程就是“建模”。

所以，數學建模就是用數學語言描述實際現象的過程。也就是說，數學建模是指根據具體問題，在一定假設下找出這個問題的數學框架，求出模型的解，并對它進行驗證的全過程。構建數學模型是一種形象和邏輯思維相結合的十分重要的數學思考方法，通過抓住研究對象的重要特征，從而進行簡化、假設、抽象而構造出來的令人信服的科學形態。

當然，在初中數學教學中的“建模”要求，是不可能達到成人那樣的高要求的。它應符合初中學生的知識能力特征，主要是滲透一些建模思想，培養一定的建模能力。

二、 初中數學建模的可行性分析

在初中數學課堂中施行建模教學．在現在的教學形勢下是完全可行的。

1．提出數學建模問題的客觀依據

（1） 數學模型在初中數學教學中普遍存在。借用“模型”對客觀事物進行分析研究，在當代社會里是一個非常高效而重要的研究方法。數學建模是聯系數學與實際問題的橋梁，是數學在各個領域廣泛應用的媒介，是數學科學技術轉化的主要途徑。數學建模在初中數學教學中的重要作用越來越受到人們的普遍重視，是因為初中數學教學中基本上所有的知識點，都是將實際問題通過建立優良的數學模型而引出、解決的。這與數學語言是一種最為普遍的語言有關。如數學模式語言：(+)2=2+2+2，全世界恐怕沒有哪個國家哪個民族不認識。數學模型正是利用這種普遍使用的數學語言來模擬研究對象的數學結構，所以只有通過數學建模更有效地描述自然現象和社會現象，才能被更多的人理解、接受和運用。

（2） 初中數學建模有其十分有利的條件。初中學生已積累了一定的事物分析能力，通過數學建模，可以使學生在實際應用問題中所產生的感性認識能動地發展到理性認識，又把所得的數學結果經過科學驗證后再來指導實踐。因此，數學建模可以促使初中學生由感性認識的直接性和具體性逐步向理性認識的間接性和抽象性轉化，從而更深刻、更普遍地揭示客觀事物的本質。

（3） 數學建模是實施合作學習的重要渠道。在初中數學課堂教學活動中，很顯然地“數學建模”的過程是以學生為主要探究和建構的過程，其中有大量的數學問題不是單靠一個人的數學知識就能建構起模型的。教師可利用一些事先設計好的問題啟發、引導學生主動查閱文獻資料和學習新知識，鼓勵學生積極開展討論和辯論，借助不同的生活經驗和生活感悟尋找規律。這就需要同學們經常在一起相互討論，彼此磋商，團結合作，相互交流思想，共同解決問題。因此，數學建模活動也是提高團結協作能力，實施合作學習的重要渠道。

2．初中數學教學中建模的基礎

（1） 《數學課程標準》奠定的基礎。建立數學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構的過程，這就需要培養學生具有較強的觀察力、想像力和創新力，要掌握理論聯系實際的各種技巧和靈活方法，而一些要求正是全日制義務教育《數學課程標準》所倡導和教師們積極實踐的。在《數學課程標準》要求下，數學教學中的“問題情境――建立數學模型――解決、應用與拓展”模式，是當前數學教學中最基本的模式。數學建模的教學本身是一個不斷探索、不斷創新、不斷完善和提高的過程。由于現實世界紛繁復雜、變化萬端．一般沒有現成的模式，要建立好符合實際的數學模型，就要像掌握一門藝術一樣，首先要改變過去以教師為中心，以課堂講述和知識傳授為主的傳統教學模式；其次要指導學生大量閱讀一些數學實際問題，思考其中蘊含的數學思想，尋求問題解決的思想方法。

（2） 教學內容奠定的基礎。數學建模教學的指導思想是：以實際問題為基礎，以學生主動參與為中心，以尋求規律為主線，以培養能力為目標來組織教學工作。可以設想，通過這樣的課堂教學，使學生了解利用數學理論和方法分析和解決問題的全過程。提高了學生分析問題和解決問題的能力。當然也提高了他們學習數學的興趣和應用數學的意識和能力。例如，在“數與代數”一節中，因方程、不等式、函數等內容是研究現實世界數量關系和變化規律的重要數學模型，所以相應的學習素材就能體現數學建模的過程。

三、 數學建模教學的一般步驟

建立數學模型雖沒有一成不變的準則和固定的模式，但我們仍然能夠提出一個建立數學模型的大體過程。下面就以具體題目為例，進行闡述。

例題：在線段AB上(包括A、B兩點)共有101個點，問可以找出多少條線段?

第一步：認真觀察，分析變量，找出特征

對所要研究解決的客觀對象及其實際背景進行全面深入細致的觀察，收集必要的有關數據，掌握研究對象的各種信息，即掌握有關對象的可靠的第一手資料，找尋實際問題的內在規律，做好建模的充分準備。仔細分析問題，找出關鍵特征。這里的問題可以歸結為“找線段”。那么由“兩點確定一線段”可知，這個問題的關鍵特征是“在101個點中，由兩個點組成一組，共有多少組”。

第二步；尋求與該特征相吻合的數學模型

思考方法一：假設左邊第一個點不變，以這個點為其中一個端點，與別的100個點可以組成100條線段。接下來假設左邊的第二個點不變，以這第二個點為端點與它右邊另外的99個點可以組成99條線段。再假設左邊的第三個點不變，以這第三個點為端點與它右邊的98個點可以組成98條線段。…這樣分析下去，就可以知道“在同一條線段上的101個不同的點”可以組成的線段是：100+99+98+…+3+2+1條。

思考方法二：任意一點與另外的100個點可以組成100條線段，那么101個點共有的線段應該是101×100條。但是“由兩點確定一線段”可知，這里算的線段AB和BA是重復了一次，所以應該除以2，故可得：同一線段上的101個點可組成的線段條數是101×100÷2。

通過上述分析得出的數學模型是：100+99+98+…+3+2+1=101×100÷2。

第三步：總結“模型”的適用范圍，檢驗模型

數學模型：1+2+3+…+99+100=101×100÷2是從101個“點”中任取2個得到的。那么這個“模型”是否適用于全部的情境?這里檢驗的關鍵還是找準“模型”中“不變”的本質屬性。

教師可啟發引導：把在建模過程中的“點”改成另外的事物，行不行?把“一直線上”改成“空間內”的行不行？“取兩個點為一組”改成“取3個點為一組”行不行?

通過這樣的啟導，學生通過自主探索，就會真正領會數學模型“1+2+3+…+n=(1+n)n÷2”可以適用于“空間內的n+1個不重合的物體”，但是只適用于“從中取2個，共有多少種情況”的情境建模，它不適用于“空間內的n+1個不重合的物體從中不取2個”時的情境。

第四步：解決了數學模型的應用關系，穩定運行，及時拓展

通過前面幾個步驟，已基本明確了所建模型的應用關系，則可讓學生自行或在教師的指導下完成所建模型的運行拓展。

下面舉幾個適合數學模型“1+2+3+…+n=(1+n)n÷2”運行的實例。

例1：某次聚會，有n+1人參加，須兩兩握手，總共要握手多少次?

例2：某路公交車，一路共有n個停靠站，則公交車站需制定多少種不同的車票價格?

通過這樣的拓展，學生就能在以后的實踐中知道，凡是“空間內的n+1種不重合的事物，從中取2種，總共有多少種情況”的題目都適用l+2+3+…+n=(1+n)n÷2這個數學模型。

四、 在初中數學教學中實施數學建模的優點

1．是培養學生創新思維和能力的最好方法

數學建模活動是需要進行復雜的綜合思維的過程，必須把直覺思維與發散思維結合起來。由于數學問題本身具有“障礙性”，不可能直接利用公式得出結果，需要進行轉化，創造模型。故數學建模活動本身就是一個創造性活動過程。筆者認為，數學建模是培養和訓練建模者的創造性思維和創新能力的最好方法。