初中數學的方程式范文

導語：如何才能寫好一篇初中數學的方程式，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公文云整理的十篇范文，供你借鑒。

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【關鍵詞】新課程初中數學學習方法

新課程理念要求初中數學教師必須完成指導學生怎樣學習數學這一重要任務。因此， 作為一名初中數學教師，必須要通過課堂有針對性、 有步驟、 有計劃地教會學生了解并掌握各種各樣的學習方法及對策， 促使學生形成獨立學習、 自主學習等習慣、能力， 從而不斷提升自身的素質。

一、 指導學生學會聽課， 完善課堂學習對策

數學教師的首要任務是要指導學生學會聽課，合理處理聽、 思和記之間存在的關聯。這就要求教師在課堂上要注重知識講解的層次分明性， 促使學生掌握合理的學習對策。其一， 聽是要求學生能夠充分利用自己的感官去接受數學知識。在聽課的過程中， 學生應當將焦點集中在五個方面： 聽清楚每一節數學課的學習要求； 聽教師是如何引入知識并幫助自己形成知識的； 仔細聽教師對于重點及難點知識的剖析， 尤其要針對自己在預習過程中遇到的疑點問題； 聽教師解答教材例題的數學思路及數學方法、 思想；聽明白一堂課的小結內容。 其二， 尊重并訓練學生的思維。學生課堂主體作用的發揮需要以思維作為依據， 因而教師在指導學生的思維方法時要提醒學生注意四個方面： 在課堂上要勤思， 做到隨聽隨思； 針對重點問題要進行追根溯源的思考， 并善于提出問題；善思， 由聽和觀察去聯想、 猜想、 歸納； 樹立批判意識，學會反思。 可以說思是聽的深化，而聽是思的基礎。 其三，教會學生正確的課堂筆記對策。一般地， 初中的學生不會合理記課堂筆記， 他們大多數都是“抄” 教師在黑板上寫的內容， 而忽略了聽和思。因而教師應當指導學生學習正確的記筆記的對策：課堂的重點是聽、 思， 記筆記的重點是疑問、 解題的方法及思路； 記錄小結內容以及課后的思考題。 于是學生應當明白記僅僅是服務于聽和思。教師指導學生掌握好這三者的關系， 就能使數學課堂學習環節達到較完美的境界。

二、教給學生數學概念的學習方法

初中學生學習數學知識的過程總是會遇到很多的數學概念、 定理以及公式， 且概念是定理及公式的基礎。 筆者依據自身數十年的從教經驗歸納出以下五種學習數學概念的方法： 仔細閱讀概念的概論， 并記住其中的名稱、 符號等； 背誦概念，合理把握概念的特性； 舉出正反實例，教會學生去體驗概念所反映出的范圍；針對概念開展練習， 并準確做出判斷； 與其他的相關概念進行對比學習， 弄明白概念之間存在的關聯。例如，在講授初中數學教材中 “正、負數” 這一節內容時， 教學的目的是教會學生掌握正、 負數的概念和有理數的概念， 促使學生明白負數的來源是我們的實際生活， 它要為實際生活服務。 因而在課堂教學里面，教師應當督促學生自學，通過課前閱讀記住概念的正數、負數等名稱， 并背誦正、 負數的概念，然后教師再與本節數學知識結合設計出有針對性的思考練習： 在生活中， 如果我們把零上5℃記為+5℃， 那么如果溫度是零下5℃我們應該怎樣記錄呢？這樣一來，教師就能夠促使學生良好理解正、 負數的概念， 并區別實際中出現的具體相反意義的量，輕松引進負數。

三、 傳授給學生探究性學習對策

探究性學習具體是指從學科領域或現實生活中選擇明確的研究課題， 在教學中創設一種類似于學術（或學科）研究的情景， 以學生自主發現問題、 獨立分析問題為基礎，開展一系列諸如實驗、 調查、 操作、 搜集信息等活動， 促使學生獲得數學知識、 技能， 培養他們樹立良好的數學學習態度， 從而發展他們的創新精神和探究能力。探究性學習具備更強的參與性、問題性、 開放性以及實踐性， 目的在于讓學生切身體驗探究的過程， 從而獲取理智以及情感的體驗，建構數學知識， 掌握解決數學問題的方法、 思維。在新課程理念全面推行的今天， 探究性學習已經發展成為教師組織和引導學生開展學習活動的重要方式。例如，在初中數學的 《走進圓形世界》 的課堂上，教師設計問題時可以這樣： “為什么車輪不是方形、 橢圓， 而是圓形呢？” 以此來激發學生的探究興趣。這樣來設計問題能充分聯系到學生的日常生活， 由于都是熟悉的事物， 自然會有一種探究到底的興趣。通過對車輪的研究， 可以初步了解圓的相關理論與知識， 從而為進一步探究打下一定的基礎。

四、 培養初中學生形成科學的學習方法

初中學生都應擁有屬于自己的學習方法， 實踐的經驗告訴我們， 最為重要的方式就是大膽聽、 讀。 筆者在這里主要介紹閱讀數學教材這一方法： 教師只有教會學生正確地閱讀數學教材才能夠促使他們掌握好數學的語言、思想，從而在此基礎上提高學生的自主學習數學的能力。而教師的重點任務是有效改變學生不看書不做題的習慣， 防止學生將數學教材當作查閱定理及公式的辭典。 并且教師需要在學生閱讀教材的過程中進行科學的指導，教會學生在閱讀當天的課堂教學內容抑或是某一個單元的某一章節內容時要有明確的目標， 做到通盤考慮。例如， 在學習 《反比例函數》 時， 從教材的知識點來講， 學生應當通過閱讀弄明白幾個問題： 形如函數y=k/x （k為常數且k≠0） 叫做反比例函數，為什么會限定常數k≠0這一條件呢？x是自變量， y是x的函數，能不能反過來說呢？反比例函數的圖像有幾種？四種反比例函數的圖像擁有什么特征呢？……初中學生學習的數學知識往往是間接的、抽象的，是依靠前人的實踐、 探索提煉出來的， 僅僅是一個結果， 并不能很好地為學生展示探索及思考的過程。 因此教師必須要在課堂教學中教會學生形成科學的學習方法， 正確理解教

材內容， 督促學生在聽講的過程中一定要有積極的思考和參與， 這樣才能夠實現最高的學習效率。

參考文獻

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關鍵詞：新課程 初中數學 學習方法

新課程理念要求初中數學教師必須完成指導學生怎樣學習數學這一重要任務。因此， 作為一名初中數學教師，必須要通過課堂有針對性、 有步驟、 有計劃地教會學生了解并掌握各種各樣的學習方法及對策， 促使學生形成獨立學習、 自主學習等習慣、能力， 從而不斷提升自身的素質。

一、 指導學生學會聽課， 完善課堂學習對策

數學教師的首要任務是要指導學生學會聽課，合理處理聽、 思和記之間存在的關聯。這就要求教師在課堂上要注重知識講解的層次分明性， 促使學生掌握合理的學習對策。其一， 聽是要求學生能夠充分利用自己的感官去接受數學知識。在聽課的過程中， 學生應當將焦點集中在五個方面： 聽清楚每一節數學課的學習要求； 聽教師是如何引入知識并幫助自己形成知識的； 仔細聽教師對于重點及難點知識的剖析， 尤其要針對自己在預習過程中遇到的疑點問題； 聽教師解答教材例題的數學思路及數學方法、 思想；聽明白一堂課的小結內容。 其二， 尊重并訓練學生的思維。學生課堂主體作用的發揮需要以思維作為依據， 因而教師在指導學生的思維方法時要提醒學生注意四個方面： 在課堂上要勤思， 做到隨聽隨思； 針對重點問題要進行追根溯源的思考， 并善于提出問題；善思， 由聽和觀察去聯想、 猜想、 歸納； 樹立批判意識，學會反思。 可以說思是聽的深化，而聽是思的基礎。 其三，教會學生正確的課堂筆記對策。一般地， 初中的學生不會合理記課堂筆記， 他們大多數都是“抄” 教師在黑板上寫的內容， 而忽略了聽和思。因而教師應當指導學生學習正確的記筆記的對策：課堂的重點是聽、 思， 記筆記的重點是疑問、 解題的方法及思路； 記錄小結內容以及課后的思考題。 于是學生應當明白記僅僅是服務于聽和思。教師指導學生掌握好這三者的關系， 就能使數學課堂學習環節達到較完美的境界。

二、教給學生數學概念的學習方法

初中學生學習數學知識的過程總是會遇到很多的數學概念、 定理以及公式， 且概念是定理及公式的基礎。 筆者依據自身數十年的從教經驗歸納出以下五種學習數學概念的方法： 仔細閱讀概念的概論， 并記住其中的名稱、 符號等； 背誦概念，合理把握概念的特性； 舉出正反實例，教會學生去體驗概念所反映出的范圍；針對概念開展練習， 并準確做出判斷； 與其他的相關概念進行對比學習， 弄明白概念之間存在的關聯。例如，在講授初中數學教材中 “正、負數” 這一節內容時， 教學的目的是教會學生掌握正、 負數的概念和有理數的概念， 促使學生明白負數的來源是我們的實際生活， 它要為實際生活服務。 因而在課堂教學里面，教師應當督促學生自學，通過課前閱讀記住概念的正數、負數等名稱， 并背誦正、 負數的概念，然后教師再與本節數學知識結合設計出有針對性的思考練習： 在生活中， 如果我們把零上5℃記為+5℃， 那么如果溫度是零下5℃我們應該怎樣記錄呢？這樣一來，教師就能夠促使學生良好理解正、 負數的概念， 并區別實際中出現的具體相反意義的量，輕松引進負數。

三、傳授給學生探究性學習對策

探究性學習具體是指從學科領域或現實生活中選擇明確的研究課題， 在教學中創設一種類似于學術（或學科）研究的情景， 以學生自主發現問題、 獨立分析問題為基礎，開展一系列諸如實驗、 調查、 操作、 搜集信息等活動， 促使學生獲得數學知識、 技能， 培養他們樹立良好的數學學習態度， 從而發展他們的創新精神和探究能力。探究性學習具備更強的參與性、問題性、 開放性以及實踐性， 目的在于讓學生切身體驗探究的過程， 從而獲取理智以及情感的體驗，建構數學知識， 掌握解決數學問題的方法、 思維。在新課程理念全面推行的今天， 探究性學習已經發展成為教師組織和引導學生開展學習活動的重要方式。例如，在初中數學的 《走進圓形世界》 的課堂上，教師設計問題時可以這樣： “為什么車輪不是方形、 橢圓， 而是圓形呢？” 以此來激發學生的探究興趣。這樣來設計問題能充分聯系到學生的日常生活， 由于都是熟悉的事物， 自然會有一種探究到底的興趣。通過對車輪的研究， 可以初步了解圓的相關理論與知識， 從而為進一步探究打下一定的基礎。

四、培養初中學生形成科學的學習方法

初中學生都應擁有屬于自己的學習方法， 實踐的經驗告訴我們， 最為重要的方式就是大膽聽、 讀。 筆者在這里主要介紹閱讀數學教材這一方法： 教師只有教會學生正確地閱讀數學教材才能夠促使他們掌握好數學的語言、思想，從而在此基礎上提高學生的自主學習數學的能力。而教師的重點任務是有效改變學生不看書不做題的習慣， 防止學生將數學教材當作查閱定理及公式的辭典。 并且教師需要在學生閱讀教材的過程中進行科學的指導，教會學生在閱讀當天的課堂教學內容抑或是某一個單元的某一章節內容時要有明確的目標， 做到通盤考慮。例如， 在學習 《反比例函數》 時， 從教材的知識點來講， 學生應當通過閱讀弄明白幾個問題： 形如函數y=k/x （k為常數且k≠0） 叫做反比例函數，為什么會限定常數k≠0這一條件呢？x是自變量， y是x的函數，能不能反過來說呢？反比例函數的圖像有幾種？四種反比例函數的圖像擁有什么特征呢？……初中學生學習的數學知識往往是間接的、抽象的，是依靠前人的實踐、 探索提煉出來的， 僅僅是一個結果， 并不能很好地為學生展示探索及思考的過程。 因此教師必須要在課堂教學中教會學生形成科學的學習方法， 正確理解教材內容， 督促學生在聽講的過程中一定要有積極的思考和參與， 這樣才能夠實現最高的學習效率。

參考文獻：

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所謂“開放”，包括數學教學內容、學生數學活動和學生與教學內容之間相互作用等幾個方面的開放。開放式教學的目標應是：充分尊重學生的主體地位，通過數學教學，在獲取數學知識的同時，讓學生主動學習自行獲取數學知識的方法，學習主動參與數學實踐的本領，進而獲得終身受用的數學能力、創造能力和社會活動能力。在教學中，讓學生能夠按各自不同的目的、不同的選擇、不同的能力、不同的興趣選擇不同的教學并得到發展，能力較強者能夠積極參與數學活動，有進一步的發展機會；能力較低者也能參與數學活動，完成幾項特殊的任務。這個過程體現了教學目標的多元整合性，使學生可以全面發展。

二、開放教學環境，創設民主氛圍，促使師生關系朋友化

教學是教與學的交往、互動，師生雙方相互交流、相互溝通、相互理解、相互啟發、相互補充。在這個過程中，教師與學生分享彼此的思考、見解和知識，交流彼此的情感、觀念與理念，豐富教學內容，求得新的發現，從而達到共識、共享、共進，實現教學相長和共同發展。交往說明教學不是教師教、學生學的機械相加，傳統的嚴格意義上的教師教和學生學，將不斷讓位于師生互教互學，彼此將形成一個真正的“學習共同體”，為實現師生雙方的相互交流、相互溝通提供了一個有效的操作平臺，讓師生共同融入情境教學中去，營造一個和諧民主的學習氣氛。課堂成為師生心靈交融、情感呼應的園地。這時，教師才真真正正地成為學生的良朋知己。

三、開放教學方法，激趣導學，讓學生在自主、探究、合作中學習

新課程所倡導的學生學習方式就是自主、探究、合作。因此數學課堂上學生的主要活動是通過動腦、動手、動口參與數學思維活動。教師不僅要鼓勵學生參與，而且要引導學生主動參與，才能使學生主體性得到充分的發揮和發展。這就要求在教學過程中要為學生創造良好的主動參與條件，提供充分的參與機會，具體應注意以下幾點。

1.巧創激趣情境，激發學生的學習興趣。

教學實踐證明，精心創設各種教學情境，能夠激發學生的學習動機和好奇心，培養學生的求知欲望，調動學生學習的積極性和主動性，引導學生形成良好的意識傾向，促使學生主動地參與。

2.運用探究式教學，使學生主動參與。

學生是探究的主體，根據教材提供的學習材料，伴隨知識的發生、形成、發展全過程進行探究活動，教師著力引導學生多思考、多探索，讓學生學會發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，以及親身參與問題的真實活動之中。只有這樣，學生才能親身品嘗到自己發現的樂趣，才能激起強烈的求知欲和創造欲。

3.運用變式教學，確保其參與教學活動的持續的熱情。

變式教學是對數學中的定理和命題進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，以暴露問題的本質特征，揭示不同知識點間的內在聯系的一種教學設計方法。通過變式教學，使一題多用，多題重組，常給人以新鮮感，能喚起學生的好奇心和求知欲，因而能產生主動參與的動力，保持其參與教學過程的興趣和熱情。

教學案例《有理數的加法》（本節課的教學過程就是上面思想的一種體現）

（1）創設情境，提出問題。

問題：一位同學在一條東西向的跑道上，先走了20米，又走了30米，能否確定他現在的位置位于出發點的那個方向，與原來的位置相距多少米？

分組討論，由小組的代表說出本組成員的想法。

（答案包括了全部可能的四種分類情況）

①先向東走20m，再向東走30m；②先向東走20m，再向西走30m；③先向西走20m，再向東走30m；④先向西走20m，再向西走30m。

（2）組織交流，共享發現。

討論如何根據實際意義轉化為數學表達式。

通過討論，很快有四位同學說出下面四個等式：

（+20）+（+30）=+50?搖?搖（+20）+（-30）=-10

（-20）+（+30）=+10?搖?搖（-20）+（-30）=-50

設置上面的問題和活動，目的就是培養學生們發現新問題的能力。

（3）探究本質，統一認識。

觀察上述四個算式，學生分組討論，派代表發言，并總結歸納。

①同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

②異號兩數相加，取絕對值較大的加數符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

指導學生看書上的黑體字，比較一下書上的表達方式與我們自己的表達方式有什么區別?并集體討論，以加深印象。

四、開放教學內容，“活”用教材，力求教學內容社會化

數學是人類的活動。如果課堂內容與生活相聯系，那么學生的活動過程就會顯得更加有意義，他們投入的積極性也就會更加強烈。

教學案例（初二）：

大米蒸成米飯后質量有所增加。某飯店的廚師小張每千克大米蒸出的米飯比小李多了0.2千克。現在用同樣多的大米，小張蒸出了24.2千克的米飯，而小李只蒸出了22千克的米飯。問小張、小李每千克大米各蒸出多少千克的米飯？

（1）創設情景

①老師首先統計班內哪些同學愛吃米飯。然后，讓各學習小組討論米飯的形成過程，即媽媽是如何蒸大米的（學生的情緒非常高，不少同學有蒸米飯的經歷）。

②選兩名學生代表說說米飯的形成過程（結果這兩位同學說的方法與過程不一樣，從而又引出其他同學也相應說出了各自的經驗和方法）。

（2）探討

①問題：大米蒸成米飯后為什么質量會增加？用同樣的大米，為什么有的人蒸出的米飯多，有的人蒸出的米飯少？米飯質量、每千克大米蒸出的米飯質量、大米質量三者之間的關系是怎樣的？

②老師把上面的問題分別交給了六個興趣小組，通過討論來解決（這六個小組各自進行了激烈爭論，有兩位同學竟然站起來爭吵，問題很快得以解決。同時，大家在討論的時候，還發現了一個問題，即蒸大米的時候，加的水要適量，既不能太多，又不能太少）。

（3）在同學們弄懂了題意之后，師生接著列表分析：

人名米飯質量（千克）每千克大米蒸出的米飯質量（千克）大米質量（千克）

小李?搖?搖?搖?搖22?搖?搖?搖?搖?搖?搖x

小張?搖?搖?搖?搖24.2?搖?搖?搖?搖x+0.2

上面問題的解決，不僅使得同學們在合作中學到了一些數學知識和方法，而且使得他們在探討中學到了一些生活常識。

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關鍵詞：初中；數學教學；賞識教育

初中數學的教學條理性與理論性都有一定要求，學生在學習中會產生較大的阻力，出現較多的困難。由于初中數學知識較多、較雜，學生在學習中難以全面地掌握知識，容易使學生對數學學習喪失信心，甚至產生厭倦。針對這一情況，教師要善于運用賞識教育的方法，對學生在學習中的良好表現進行肯定，從而增強學生學習的自信心，提高初中數學教學的有效性。

一、賞識教育在初中數學教學中的作用

1.運用賞識教育，培養學生的學習興趣

每一個學生都渴望得到他人的肯定。因此，教師在教學時要善于發現每位學生的優點，給學生以尊重和理解，尤其是學習稍差的學生，教師一個肯定的眼神、一個微笑都能使學生得到很大鼓勵，對學生以后的學習有很大幫助，使學生自信心得到增強。例如，我班里有個學生生性內向、不善言辭，在學習中也極少發言，走路都會低著頭不敢直視教師與同學，但是我發現在一次數學習題的練習中，他的答題習慣非常好，運算的步驟清晰，有邏輯。因此，我抓住了這次機會對他進行表揚：“數學學習要具有一個良好的答題習慣，保持答題步驟的清晰會對后續檢查和學習有很大幫助，老師相信，只要你保持良好的答題習慣，就會在數學學習中不斷進步，甚至超越其他學生?！边@樣的鼓勵與肯定，使他發現了自己在學習中的優點，逐漸對自己產生了信心，擺脫了自卑心理，在后續的不斷努力中，產生了數學學習的興趣，上數學課時逐漸變得更加積極活躍，數學學習成績也得到了大幅度提升。

2.運用賞識教育，培養學生學習數學的耐心

數學教學因為理論性較強，注重邏輯思維的訓練。因此，很難使學生在課堂上保持足夠的興趣和精神。根據學科特點，教師可以采取靈活多變的教學方法對學生進行賞識教育，提升學生的學習興趣。例如，在教學七年級下冊垂線一課時，教師通過開設疑問：“經過直線L外一點N畫L的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？”引導學生動手實踐，從而激發學生的探究欲和挑戰心理。對于這種問題，學生通過自己動手實踐，與同學進行交流、分析、討論，能使自己的想法得到真正展現，從而提升學生的學習興趣。在這一過程中，教師要給予學生足夠的時間和空間，讓學生各抒己見，滿足學生自主探究的需求。對于學生各種形式的回答不要急于肯定或批判，讓學生自由地進行創新，從而活躍課堂氛圍，促進學生創新思維的發展。在寬松環境下，學生間、師生間的交流中，有時學生在不經意間迸發的想法是極具創造性的，富有大膽的認知以及出乎意料的想象，這時教師要及時給予賞識性評價，引導學生對這一觀點進行評價與思考，引導學生進入教學環境中，培養學生的批判意識。

二、初中數學教學中運用賞識教育的方法

在數學教學中，教師要照顧到每一個層次學生的學習，善于因材施教，對每位學生負責。每一個學習層次的學生都有不同的學習基礎和學習能力，對于教學中的統一要求也有不同的接受能力。因此，教師要善于了解每個學習層次學生的學習情況，有針對性地進行知識的教學和作業的布置。例如，教學七年級下冊二元一次方程組一課時，教師布置作業時針對基礎較差的學生，只要求他們完成基礎的運算，學會運用方程式解決問題；對于中等生，則要求他們在一些常見綜合題中學會運用二元一次方程式，了解它的現實意義，并學會運用二元一次方程式解決實際問題；對于優等生的教學，教師要善于開發課外資源，滿足優等生的探知欲望。不同學習層次的學生完成并掌握了學習知識后，教師要善于采用表揚的手法，使學生增強學習的自信心。學生沒有完成教學任務，做錯了數學習題時，教師也不要急于批評教育，要善于分析、總結出現錯誤的原因，并認真指導，鼓勵與安慰，使學生保持學習數學的積極性，感受到教師的真誠，從內心深處喜歡數學，從而增強自信，端正學習態度。此外，還有眾多賞識教學的方法。例如，在教學中對學生長時期觀察，抓住時機表揚，使學生增強學習的信心與興趣。此外，教師要注意將賞識教育與適度批評相結合，以防學生產生驕傲自大的心理，無法端正態度進行學習。因此，教師要靈活運用賞識與批評的教學方法，促進學生學習。

參考文獻：

［1］沈永剛.運用賞識教育提升學困生自信心的初中數學教學實踐［J］.考試周刊，2011（17）.

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一、有效課堂的內涵

所謂有效教學，是指投入最少的時間和精力以取得最多的收獲，教學成果包含兩方面，一個是社會教育價值的滿足，另一個是個人教育價值需求的滿足。具體來說，教學效率可以分為教學效果、教學效率和教學效益等，其中教學效果是指實際取得的教學成績與預期的教學目標的吻合程度；教學效率是指取得的教學效果與教學付出的時間或者精力的比率；教學效益是指教學活動獲得的收益，即教學活動價值的實現。

二、初中數學教學有效性的參考標準

1.教學目標的有效性：教學成果要符合學生的實際情況、課程標準，學生能夠掌握相應階段的數學知識和數學知識的應用能力。

2.學生主體參加的有效性：在整個數學教學過程中，學生能夠積極參與教學活動，且愿意參與各種各樣的數學活動，對數學問題具有深入探究的興趣。

3.教學知識的有效性：對初中數學的教學能夠合理安排進度，以符合學生的實際情況，同時要適度把握知識擴展和深入的難度。

三、初中數學有效教學的措施

1.創設——有效數學教學的基礎

古人語：“凡事預則立，不預則廢。”課堂教學需要預設，預設是為了更好地追求過程的有效性。沒有預設的教學只能成為一種信馬由韁的活動，不會取得好的效果。有效數學課堂則強調“以學定教”，教學生學什么和教學生怎樣學，把“學生學什么”作為教的內容，就是引導學生去質疑、去發現、去探究、去歸納、去判斷，去把本來要教師教的東西變為學生自己去探索。于是，原來教師要他學的東西成了他自己要學的東西，則學生的主動性自然就提高了，教師的主導作用也就充分發揮出來了。如創設變式：

變式1.若圓的方程式變為（x-a）+（y-b）=r，求經過圓上點M（x，y）的切線方程。

變式2.若圓的方程式變為（x-a）+（y-b）=r，求過圓外M點（x，y）的切線方程。

變式3.已知M（x，y）為圓x r內異于圓心的一點，判斷直線x r與圓的位置關系。

2.創新——有效數學教學的中心

創新為有效教學提供了基礎，教師在教學之前應認真研究教材、了解學生。葉瀾教授曾說：“課堂應是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發現意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的行程?！苯虒W過程的真實推進及最終結果，更多的是由課的具體行進狀態，以及教師當時處理狀態的方式決定的。比如，提問“反函數是不是函數，反函數有沒有三要素，如何確定”？讓學生思考。教師在概念引入前對指數函數和對數函數的關系從定義域、值域、單調區間、圖像等方面進行了深入、細致的探討，而后才給出反函數的定義，然后提出問題：“為什么叫反函數，反在什么地方？”讓學生探討反函數這一概念的本質。學生通過自己的探究，得出不同答案，老師最后對學生的結論進行點評和指導，這樣可以鍛煉學生的創新思維，同時不拘一格的教學形式又會激發學生的學習興趣。

3.反思——數學有效教學的保障

在初中數學課堂教學中，老師對學生進行數學知識灌輸是主要形式，針對每堂課學生提出的數學問題，老師應該進行及時的反思，研究學生產生問題的原因在哪兒，是講解不夠直白還是知識構建存在漏洞，這樣才能不斷提高教學質量。同時還應對學生的考試卷面進行分析，找出問題所在，還要經常和學生進行溝通，這樣才能保證老師及時了解學生對學習數學的想法，并及時改正。不斷發現問題、解決問題，然后才能在反思中促進數學教學效率的提高。

總之，初中數學課堂的有效構建主要從兩個方面出發，一方面是老師要尊重學生為教學主體，另一方面在教學內容和教學方式上進行積極改進，堅持科學的方法和合理的原則。同時要樹立培養學生數學思維和數學能力的教育理念，這樣才有助于學生的長期發展，并從學生的實際情況出發，實現學生個人學習效率與學?？傮w教學成果的統一。

參考文獻：

[1]加涅著.皮連生等譯.教學設計原理[M].上海：華東師范大學出版社，2010.

[2]鮑里奇著.易東平譯.有效教學方法[M].南京：江蘇教育出版社，2012.

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關鍵詞：高中數學；知識銜接；重要性；問題；教育的界

初三是初中最重要的階段，它P系著學生是否上重點高中，是否有好的前途。所以初三是一個非常重要的時期，而初中數學的這一科更是關系到高中數學的學習，數學不像其他的學科，數學的銜接性非常強，如果前邊的一個環節沒學好，后邊的環節學起來也是非常的困難的，數學是一個環環相扣的學科。如果數學基礎打得好，學習就會越來越輕松，如果數學基礎打不好就會越學越吃力，最終讓數學成為學生的短板。高中是學生非常重要的一段時期，他關系這高考，關乎著學生是否能夠上一所比較好的大學，高中數學就有150分，占總成績的1/5，所占的比非常大。學好數學的重要性是不言而喻的，打好高中數學的基礎也是非常重要的，這要從小學就得開始打好數學基礎，最重要的是提高學習數學的興趣。因此初三數學一點要做好與高中數學的銜接工作，為學生打好上高中的基礎。

一、知識銜接中存在的誤區

雖然做好初三與高一數學的銜接對學生的數學學習非常有利，但是其中的困難也是巨大的，在初三復習的時間段內，學生的情緒很浮躁，學生在面對升入高中時候的壓力時，會感到莫名的不安，注意力無法集中，這樣就會導致學生的學習數學的興致不高。如果教師在這個時間段教授學生高中的銜接知識，學生大多不會用正確的態度對待教師所傳授的新知識。最大的阻力學校注重的是學生的升學率，注重的是學生考試成績，這樣教師就會注重學生的基礎知識的學習與鞏固，不會太多的關注學生的知識銜接，畢竟高層次的知識是高中老師的事情。學校教育局更是注重學生的成績，不會去關注知識銜接的問題。重重的跡象表明在初三知識與高中知識的銜接還有很重要的路要走。

二、初中數學是基礎的原因

在初中數學中，主要是講一些關于一元一次方程，二元一次方程，圓的求解等問題，這些問題都是一些數學的基礎問題，在初中數學教學中這些內容幾乎占據全部。這些內容是否學好也關系著學生今后的數學成績，比如：方程組的求解，只要是應用題就會用到方程組的求解，在高中的學習內容中都是以這些為基礎的，高一學科中的方程組化簡，就是把簡單的方程組求解，通過難度的加工，讓原本簡單的算術乘法變得復雜起來，在這些復雜的方程式中找尋他們的共同規律，通過化簡化成簡單的方程組，也就是初中所學習的簡單的方程組，從而快速有效的解決問題。這些知識的學習必須要打好初中數學的基礎，如果初中數學的方程組沒學好，直接導致的結果就是無法化簡公式，根本無法解出數學題目的答案。再比如圓的求解，在初中階段只是學習了基本的圓的知識，初中階段只講述了圓的對稱性，圓的面積求解……還有一些基本的曲線和線段，這些知識的學習更加為高中的數學奠定了基礎，甚至關乎著高考中兩個重要的大題，在高中數學的幾何證明的題目中，必須要懂得就是在平面中各個直線之間的關系，它們之間如何證明平行，如何證明垂直……都為高中數學如何證明幾何的空間平行和空間垂直奠定了基礎。還有關于圓方面的知識，為高考的最難得圓錐曲線的求解，更是奠定了基礎，為圓錐曲線的研究做出突出的貢獻，在高考分值較重的情況下，如果基礎打的好，那么學生在高中的數學成績也不會太差。反之如果學生初中數學的基礎打不好，尤其是初三的數學學習，更是關系著學生在高中學習成績。所以重視初三學生的基礎是非常重要的任務。

三、如何為即將升高中的學生打基礎

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一、初中生在數學解題中常出現的錯誤分析

（一） 數學符號混亂

數學是將實際問題抽象為數學符號，以表示其數量關系的學科。在初中學生解題過程中，首先需要把題目信息翻譯為數學語言和符號由于學生的認知能力有限，對數學符號的認識和理解能力有限，有的還處于小學階段的理解水平所以在解題時就有很多的問題。

（二） 數學概念模糊不清

初中數學的一個教學難題就是“數”與“形”的轉化問題。在八年級的數學教學中，已經將幾何教學提上了教學重點的范圍。學生對這一部分知識接受起來很快，但是在應用的過程中會出現很多問題，例如，幾何問題與方程問題的結合，方程式的運用等。這樣抽象的數學模式對學生的理解能力是一個挑戰。

（三）條件審閱不清晰

審題不清是學生在數學的學習中經常犯的一個問題，其實并不是單純的馬虎，審題不清晰，而是學生對題目中的條件挖掘得不夠深刻，分不清已給的數學條件背后的意義，對客觀題的隱性條件設置把握不好。

二、培養學生良好解題習慣的策略

（一）要求學生認真審閱題目，理清思路

初中學生一般很難定性，尤其是男生，這是由于學生受心理發展水平影響。教師說教基本上是沒有用的，我們總是在重復地告訴學生們，考試時要注意審題、要注意理解題目內涵、要注意時間的配合等，都沒有一套行之有效的思路給學生，使其手握利器，解題時思路清晰。為了讓學生能認真審題，教師應給學生一套基本原則：1.審題至少3遍，第一遍通讀題目，第二遍提出可用條件，感悟題目內涵，第三遍的時候找出隱藏條件。

（二）要求學生注意解題過程中的規范性

初中生的思維十分豐富，同一道題目時，常常有著不同尋常的想法，教師沒有辦法控制每一個學生的個性問題。對數學這一門嚴謹的學科，不單單是教會學生一些題目的解法，一些公式的應用等，更是對學生思維方式的培養，是對學生的思維能力的培養。在這個過程中，學生要學習一種邏輯性的思維方式，但是在這個過程中，嚴謹性很重要，如果學生在審題和做題的過程中依舊思維凌亂，不講究程序性原則，就不會達到預想的教學目的，所以教師的教學方式很重要。例如，在蘇教版的七年級教材中有這樣一道習題：若一個二次函數，其圖象經過（3，4）、（0，5）、（4，6）三個點，求此二次函數的方程式。在解答過程中，學生要畫出函數的象限，以此幫助解題。教師要把規范的畫法示范給學生，給學生一個嚴謹的解題過程。

（三）教師教學時注重細節

細節問題不僅僅是教師在教學中要注意的問題，更是展示給學生一個好的解題過程。要讓學生樹立良好的解題觀念。例如，在蘇教版七年級的教材，對數據這一模塊的學習中，教師可以根據班級的實際情況進行教學。對數軸這一知識的教學時，由于學生一般對數軸這一抽象的概念沒有認知，對于簡單的數軸概念，有的初中生很難理解，教師可以采取多媒體輔助教學，以形象直觀的方式使學生了解什么是集合、正數、負數的關系，數軸是虛擬的，是數據的體現等。在細節處做文章，幫助學生理解嚴謹的數學問題。

（四）師生都要注意課后反思

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關鍵詞：初中數學；數學思想；教學目標

數學思想是數學學科的精華所在，通常老師在有限的教學時間里，只能教會學生有限的知識。但是如果老師可以在這有限的教學時間里培養出學生的數學思想，那么學生就可以具備獲取知識的能力，對學生未來更好地發展有著非常重要的意義。所以，在初中數學教學中，老師應該充分認識到培養學生的數學思想要比只關注學生的數學成績更重要。

一、數學思想簡介

數學思想也可以說是一種數學思維，它主要是給學生提供學習數學的方法，讓學生在解決數學問題時可以利用這種數學思維來思考問題。這種思維可以讓學生對數學的本質有更加深刻的理解，也能幫學生提高對數學知識的實踐應用能力，讓學生把學習到的知識運用到實際生活中。很多數學知識看起來都是很抽象的，但是如果學生有了數學思想后，這些抽象的知識在學生的腦海里就能被理順，學生可以找到解決問題的思路。數學思想最常見的應用就是當學生做數學題的時候，學生可以由一道題目來想到這道題的解題思路，知道這道題應該怎樣分析，用到哪些數學思想。這就是數學思想對學生解題的幫助。

數學思想從字面看起來有些抽象，不知道它具體指的是什么，但實際上數學思想是一個集合概念，它是由很多具體的分類組成。在初中數學中，最常用的數學思想有以下幾種：一是函數與方程思想。列方程對初中生來說并不陌生，初中所學方程一般都是兩個變量，學生通過思考變量之間數量的關系來列出對應的方程式，最后再解出變量的具體數值。二是數形結合思想。這種思想在初中數學學習中的應用非常廣泛，尤其是在學生學習初中幾何知識的時候，應用這種思想可以給學生的解題提供關鍵的思路，還有很多不好解的式子也可以嘗試用這種思想來解答。三是化歸與轉化思想。這種思想在學生遇到困難時會經常使用，它的應用可以幫助學生把復雜難解的問題簡單化，讓很多看起來比較抽象的數學問題具體化，為學生解決問題指明方向。

二、初中數學教學滲透數學思想的策略分析

1.教學計劃的制訂過程要滲透數學思想

制訂教學計劃是一名初中數學教師的必修課，通常老師都會在上課之前對整堂課的教學目標、教學內容、教學需要用到的教學方法、教學步驟等制訂出詳細的計劃。數學思想通常都是包含在具體教學內容中的，所以老師在制訂教學計劃時，就應該考慮到教學內容都與那些數學思想有關聯，之后再針對數學思想安排詳細的教學活動。比如，化歸思想是初中數學的基本思想，它可以說貫穿了初中數學的整個學習過程，無論是什么類型的數學題都可以往這個數學思想上靠一下。所以，在教學過程中，老師可以在給學生講一道例題的其他解題思路之前，先用化歸思想嘗試一些解題。

為了能夠把數學思想融入教學當中，老師在制訂教學計劃的時候就應該做好充分的準備工作。一方面，數學教師應該做到對教學內容深入分析研究，把教學內容能夠涉及的數學思想都分析出來。另一方面，老師要針對教學內容和數學思想的應用確定出比較詳細的教學目標，這里的教學目標不應該是一個比較籠統的大目標，而是要根據不同的數學思想和不同的教學階段把目標細化，體現出分層教學的理念。

2.數學課堂教學過程要滲透數學思想

數學雖然是一門來源于生活實際的學科，但是在初中數學的學習過程中，學生還是會遇到很多比較抽象難懂的知識點。為了幫助學生更好地理解數學知識，老師通常會采用豐富多樣的教學方法，但數學思想才是學生突破數學學習過程中遇到困難的有效武器，所以老師更應該引導學生用多種數學思想來主動思考教學內容。比如，對于初中生來說，函數和解方程就是數學學習的最大難點，為了幫助學生簡化解方程的過程，老師可以讓學生用化歸的思想來簡化解題難度，給學生找一些例題做練習。課堂教學是培養學生數學思想的關鍵時機，老師一定要把數學思想融入課堂教學中，在課堂講解的例題盡量用多種數學思想來解答，讓學生能夠把用每種數學思想的解題過程都牢牢記住。

3.在課后練習中滲透數學思想

學生想要學好數學都需要通過大量的做題練習，課堂上的教學時間有限，所有學生的做題練習通常都是在課后完成。但是經常會出現有的學生做了大量的習題之后，解題能力還是提升不上來的現象。這在很大程度上是因為學生的做題思路不夠清晰，對各種數學思想的應用不夠熟練。一旦遇到一個思路受阻，解答不出問題的答案之后，就不會轉化思想，用其他數學思想來解題。為了讓學生對每種數學思想都能熟練掌握，給學生以后的做題提供更多思路，老師可以要求學生做每道題都用不同的數學思想給出幾種解題過程。這樣學生做一道題就相當于對好幾種數學思想進行訓練。

綜上所述，培養學生的數學思想是一個長期的過程，其中不僅需要學生自己有培養數學思想的意識，也需要老師加以正確的引導。

參考文獻：

[1]鄧悅.初中數學教學中如何滲透數學思想方法[J].考試周刊，2013（74）.

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一、培養學生正確的讀題習慣

1.簡縮問題

數學學習中的應用題篇幅都比較長，而且題目中的信息量較大，設計的知識點較多，題目中的相關數據之間的已知關系和未知關系也比較隱蔽，因此，教師應當教育學生在閱讀應用題的過程中學會簡縮問題，對于題目中的已知條件、已知數據及其他重要信息進行圈劃注明，從而去掉題目中的多余信息和條件，使條件和問題都更加明朗.

2.抓住關鍵信息點

在解答應用題的過程中，對于題目中涉及到的關鍵信息，需要學生進行總結，并根據這些信息來解答應用題.如在半徑為30米的圓形廣場的中央位置，需要設置一個照明光源，其射向地面呈現圓錐形，而且其軸截面的頂角為120°，對此，要求光源能夠恰好照亮整個廣場，求照明光源設置的最低高度？在這一道應用題當中，關鍵的信息包括：第一、題目研究的對象為圓錐；第二、圓錐的軸截面頂角為120°；第三、問題是求底面半徑為30米的圓錐的高線.通過對關鍵信息的分析及總結可以看出，上述應用題是要求圓錐的高線，通過對已知條件進行分析，便能夠輕松求出答案.

二、加強對學生應用題學習的基礎訓練

1.積累基礎知識

在課堂上，教師應該放開手，讓學生成為學習的主人，使他們能夠主動地思考，在一些難題或者復雜的方程式的演練中，要進行系統地劃分訓練.教師要把所講的知識如何進行運用進行細化.學生往往碰到應用題就不知如何下手，主要原因就是學到的知識點不扎實，學了這個忘了那個，腦子里沒有一個系統的知識結構.要想在解題時能夠靈活運用已學知識，應該在平時的訓練中使學生做到學一個用一個，在學到下一個時再回想起上一個，慢慢積累和加深記憶.

2.應用基礎知識進行習題訓練

初中數學大綱指出，學習數學的基本技能主要是指能夠按照一定的程序或步驟進行運算、畫圖、作圖，或者進行簡單推理.在數學教學過程中，應用題所涉及的基礎知識較多，而且需要對各個知識點進行整合，才能形成邏輯思維，確保解題思路的正確性.如一件商品，商店在出售時根據進價提高20%，后來由于商品的大量積壓，商店決定打八折優惠，同時讓利40元出售，結果商店仍舊獲利5%，求該商品的進價.上述應用題的題目比較長，所涉及的知識點也比較多，很多學生在遇到此類型的應用題時手足無措，有些學生還是按照小學的思路來解析這道題，從而導致解題思路出現錯誤.如果學生已經很好掌握了方程式，能夠根據等量關系將題中的相關數據列成方程式，則可以化難為易，達到解決問題的目的.

數學是一門邏輯性很強的學科，每一節的內容都是相輔相成、缺一不可的，如果學生對于某一節的知識掌握不透徹，就會導致其在下一節的學習中有困難，長此以往，學生不會的知識越積越多，由此也就導致學生對于數學學習的興趣得不到提升，從而大大影響學生的學習效果及課堂教學的質量.因此，在日常的數學教學過程中，教師應當以打牢基礎為主，確保學生扎實掌握每一節的數學知識，并指導學生將所有的基礎知識進行串聯學習，形成整體的系統，從而更好地進行應用題的解答.

三、注重培養學生的發散思維能力

1.應用題的改造

在學生掌握對知識應用的靈活方法之后，教師要把應用題的一些問題進行改變，讓學生看到改變的題目后，也能順利推導出結果來.

2.多角度看問題

學生在做一些復雜的應用題時，往往看不到解題的關鍵.教師應該教導學生多方面、全方位地觀察問題.

3.提高應用題設計的開放性

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一、素質教育目標

（一）知識教學點：

1．了解根的判別式的概念．

2．能用判別式判別根的情況．

（二）能力訓練點：

1．培養學生從具體到抽象的觀察、分析、歸納的能力．

2．進一步考察學生思維的全面性．

（三）德育滲透點：

1．通過了解知識之間的內在聯系，培養學生的探索精神．

2．進一步滲透轉化和分類的思想方法．

二、教學重點、難點、疑點及解決方法

1．教學重點：會用判別式判定根的情況．

2．教學難點：正確理解“當b2-4ac＜0時，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）無實數根．”

3．教學疑點：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在實數范圍內，當b2-4ac＜0時，無解．在高中講復數時，會學習當b2-4ac＜0時，實系數的一元二次方程有兩個虛數根．

三、教學步驟

（一）明確目標

在前一節的“公式法”部分已經涉及到了，當b2-4ac≥0時，可以求出兩個實數根．那么b2-4ac＜0時，方程根的情況怎樣呢？這就是本節課的目標．本節課將進一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三種情況下的一元二次方程根的情況．

（二）整體感知

在推導一元二次方程求根公式時，得到b2-4ac決定了一元二次方程的根的情況，稱b2-4ac為根的判別式．一元二次方程根的判別式是比較重要的，用它可以判斷一元二次方程根的情況，有助于我們順利地解一元二次方程，也有利于進一步學習函數的有關內容，并且可以解決許多其它問題．

在探索一元二次方程根的情況是由誰決定的過程中，要求學生從中體會轉化的思想方法以及分類的思想方法，對學生思維全面性的考察起到了一個積極的滲透作用．

（三）重點、難點的學習及目標完成過程

1．復習提問

（1）平方根的性質是什么？

（2）解下列方程：

①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．

問題（1）為本節課結論的得出起到了一個很好的鋪墊作用．問題（2）通過自己親身感受的根的情況，對本節課的結論的得出起到了一個推波助瀾的作用．

2．任何一個一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法將

（1）當b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根．

（3）當b2-4ac＜0時，方程沒有實數根．

教師通過引導之后，提問：究竟誰決定了一元二次方程根的情況？

答：b2-4ac．

3．①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式，通常用符號“”表示．

②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

當＞0時，有兩個不相等的實數根；

當＝0時，有兩個相等的實數根；

當＜0時，沒有實數根．

反之亦然．

注意以下幾個問題：

（1）a≠0，4a2＞0這一重要條件在這里起了“承上啟下”的作用，即對上式開平方，隨后有下面三種情況．正確得出三種情況的結論，需對平方根的概念有一個深刻的、正確的理解，所以，在課前進行了鋪墊．在這里應向學生滲透轉化和分類的思想方法．

（2）當b2-4ac＜0，說“方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實數根”比較好．有時，也說“方程無解”．這里的前提是“在實數范圍內無解”，也就是方程無實數根”的意思．

4．例1不解方程，判別下列方程的根的情況：

（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；

（3）5（x2＋1）-7x＝0．

解：

（1）＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，

原方程有兩個不相等的實數根．

（2）原方程可變形為

16y2-24y＋9＝0．

＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，

原方程有兩個相等的實數根．

（3）原方程可變形為

5x2-7x+5=0．

＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，

原方程沒有實數根．

學生口答，教師板書，引導學生總結步驟，（1）化方程為一般形式，確定a、b、c的值；（2）計算b2-4ac的值；（3）判別根的情況．

強調兩點：（1）只要能判別值的符號就行，具體數值不必計算出．（2）判別根的情況，不必求出方程的根．

練習．不解方程，判別下列方程根的情況：

（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；

（3）4p（p-1）-3＝0；（4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；

學生板演、筆答、評價．

（4）題可去括號，化一般式進行判別，也可設y＝x-2，判別方程y2＋2y-8=0根的情況，由此判別原方程根的情況．

又不論k取何實數，≥0，

原方程有兩個實數根．

教師板書，引導學生回答．此題是含有字母系數的一元二次方程．注意字母的取值范圍，從而確定b2-4ac的取值．

練習：不解方程，判別下列方程根的情況．

（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；

（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．

學生板演、筆答、評價．教師滲透、點撥．

（3）解：＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1

＝4m2-8m2-4

＝-4m2-4．

不論m取何值，-4m2-4＜0，即＜0．

方程無實數解．

由數字系數，過渡到字母系數，使學生體會到由具體到抽象，并且注意字母的取值．

（四）總結、擴展

（1）判別式的意義及一元二次方程根的情況．

①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式．用“”表示

②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

當＞0時，有兩個不相等的實數根；

當＝0時，有兩個相等的實數根；

當＜0時，沒有實數根．反之亦然．

（2）通過根的情況的研究過程，深刻體會轉化的思想方法及分類的思想方法．

四、布置作業

教材P．27中A1、2

五、板書設計

12．3一元二次方程根的判別式（一）

一、定義：……三、例……

…………

二、一元二次方程的根的情況……練習：……

（1）…………