高三數學導數及其應用范文

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篇1

導數及其應用

第七講

導數的計算與導數的幾何意義

2019年

1.（2019全國Ⅰ文13）曲線在點處的切線方程為___________．

2.（2019全國Ⅱ文10）曲線y=2sinx+cosx在點(π，–1)處的切線方程為

A．

B．

C．

D．

3.（2019全國三文7）已知曲線在點處的切線方程為y=2x+b，則

A．a=e，b=-1

B．a=e，b=1

C．a=e-1，b=1

D．a=e-1，

4.（2019天津文11）曲線在點處的切線方程為__________.

5.（2019江蘇11）在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的

切線經過點（-e，-1)(e為自然對數的底數），則點A的坐標是

.

2010-2018年

一、選擇題

1．(2018全國卷Ⅰ)設函數．若為奇函數，則曲線在點處的切線方程為

A．

B．

C．

D．

2．（2017山東）若函數(e=2．71828，是自然對數的底數)在的定義域上單調遞增，則稱函數具有性質，下列函數中具有性質的是

A．

B．

C．

D．

3．（2016年山東）若函數的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有T性質.下列函數中具有T性質的是

A．

B．

C．

D．

4．（2016年四川）設直線，分別是函數，圖象上點，處的切線，與垂直相交于點，且，分別與軸相交于點，，則的面積的取值范圍是

A．(0,1)

B．(0,2)

C．

(0,+∞)

D．(1,+

∞)

5．（2013浙江）已知函數的圖像是下列四個圖像之一，

且其導函數的圖像如右圖所示，則該函數的圖像是

6．（2014新課標）設曲線在點處的切線方程為，則=

A．0

B．1

C．2

D．3

7．(2011重慶)曲線在點（1，2）處的切線方程為

A．

B．

C．

D．

8．（2011江西）曲線在點處的切線斜率為（

）

A．1

B．2

C．

D．

9．（2011山東）曲線在點處的切線與軸交點的縱坐標是

A．-9

B．-3

C．9

D．15

10．（2011湖南）曲線在點處的切線的斜率為（

）

A．

B．

C．

D．

11．（2010新課標）曲線在點處的切線方程為

A．

B．

C．

D．

12．（2010遼寧）已知點在曲線上，為曲線在點處的切線的傾斜角，則的取值范圍是

A．[0,)

B．

C．

D．

二、填空題

13．(2018全國卷Ⅱ)曲線在點處的切線方程為__________．

14．(2018天津)已知函數，為的導函數，則的值為__．

15．（2017新課標Ⅰ）曲線在點處的切線方程為____________．

16．（2017天津）已知，設函數的圖象在點處的切線為，則在y軸上的截距為

．

17．（2016年全國III卷）已知為偶函數，當時，，則曲線在點(1,2)處的切線方程式_____________________________．

18．（2015新課標1）已知函數的圖像在點的處的切線過點，則

．

19．（2015陜西）函數在其極值點處的切線方程為____________．

20．（2015天津）已知函數，，其中為實數，為的導函數，若，則的值為

．

21．（2015新課標2）已知曲線在點處的切線與曲線相切，則

．

22．（2014江蘇）在平面直角坐標系中，若曲線(a，b為常數)過點，且該曲線在點P處的切線與直線平行，則的值是

．

23．（2014江西）若曲線處的切線平行于直線的坐標是_______．

24．（2014安徽）若直線與曲線滿足下列兩個條件：

直線在點處與曲線相切；曲線在附近位于直線的兩側，則稱直線在點處“切過”曲線．下列命題正確的是_________(寫出所有正確命題的編號)

①直線在點處“切過”曲線：

②直線在點處“切過”曲線：

③直線在點處“切過”曲線：

④直線在點處“切過”曲線：

⑤直線在點處“切過”曲線：

25．（2013江西）若曲線（）在點處的切線經過坐標原點，則=

．

26．（2012新課標）曲線在點處的切線方程為________．

三、解答題

27．（2017山東）已知函數．

(Ⅰ)當時，求曲線在點處的切線方程；

(Ⅱ)設函數，討論的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值．

28．（2017北京）已知函數．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求函數在區間上的最大值和最小值．

29．（2016年北京）設函數

（I）求曲線在點處的切線方程；

（II）設，若函數有三個不同零點，求c的取值范圍；

（III）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件.

30．（2015山東）設函數，，已知曲線在點

處的切線與直線平行．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）是否存在自然數，使的方程在內存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請說明理由；

（Ⅲ）設函數（表示中的較小值），求的最大值．

31．(2014新課標1)設函數，曲線在點處的切線斜率為0

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若存在，使得，求的取值范圍．

32．（2013北京）已知函數

（1）若曲線在點處與直線相切，求與的值．

（2）若曲線與直線有兩個不同的交點，求的取值范圍．

專題三

導數及其應用

第七講

導數的計算與導數的幾何意義

答案部分

2019年

1.解析

因為，所以，

所以當時，，所以在點處的切線斜率，

又所以切線方程為，即．

2.解析

由y=2sinx+cosx，得，所以，

所以曲線y=2sinx+cosx在點處的切線方程為，

即．

故選C．

3.解析

的導數為，

又函數在點處的切線方程為，

可得，解得，

又切點為，可得，即.

故選D．

4.解析

由題意，可知.因為，

所以曲線在點處的切線方程，即．

5.解析

設，由，得，所以，

則該曲線在點A處的切線方程為，因為切線經過點，

所以，即，則．

2010-2018年

1．D【解析】通解

因為函數為奇年函數，所以，

所以，所以，

因為，所以，所以，所以，所以，所以曲線在點

處的切線方程為．故選D．

優解一

因為函數為奇函數，所以，所以，解得，所以，

所以，所以，所以曲線在點處的切線方程為．故選D．

優解二

易知，因為為奇函數，所以函數為偶函數，所以，解得，所以

，所以，所以，所以曲線在點處的切線方程為．故選D．

2．A【解析】對于選項A，，

則，，)在R上單調遞增，具有M性質．對于選項B，，，，令，得或；令，得，函數在和上單調遞增，在上單調遞減，不具有M性質．對于選項C，，則，，在R上單調遞減，不具有M性質．對于選項D，，，

則在R上不恒成立，故在R上不是單調遞增的，所以不具有M性質．

3．A【解析】設兩個切點分別為，，選項A中，，，當時滿足，故A正確；函數的導數值均非負，不符合題意，故選A.

4．A【解析】設（不妨設），則由導數的幾何意義易得切線的斜率分別為由已知得

切線的方程分別為，

切線的方程為，即．

分別令得又與的交點為

．，

，，故選A．

5．B【解析】由導函數圖像可知函數的函數值在[1,1]上大于零，所以原函數遞增，且導函數值在[1,0]遞增，即原函數在[1,1]上切線的斜率遞增，導函數的函數值在[0,1]遞減，即原函數在[0,1]上切線的斜率遞減，所以選B．

6．D【解析】，由題意得，即．

7．A【解析】切線斜率為3，則過（1,2）的切線方程為，即，故選A.

8．A【解析】，，．

9．C【解析】，切點為，所以切線的斜率為3，

故切線方程為，令得．

10．B【解析】，所以。

11．A【解析】點處的切線斜率為，，由點斜式可得切線方程為A．

12．D【解析】因為，即tan

≥－1，所以．

13．【解析】由題意知，，所以曲線在點處的切線斜率，故所求切線方程為，即．

14．【解析】

由題意得，則．

15．【解析】，又，所以切線方程為，即．

16．1【解析】，切點為，，則切線的斜率為，切線方程為：，令得出，在軸的截距為

17．【解析】當時，，則．又為偶函數，所以，所以當時，，則曲線在點(1，2)處的切線的斜率為，所以切線方程為，即．

18．1【解析】，，即切線斜率，

又，切點為（1，），切線過（2,7），，

解得1．

19．

【解析】，極值點為，切線的斜率，因此切線的方程為．

20．3【解析】因為，所以．

21．8【解析】，，在點處的切線方程為，，又切線與曲線相切，當時，與平行，故．，令得，代入，得，點在的圖象上，故，．

22．－3【解析】由題意可得

①又，過點的切線的斜率

②，由①②解得，所以．

23．【解析】由題意得，直線的斜率為，設，則，解得，所以，所以點．

24．【解析】①③④

對于①，，所以是曲線在點

處的切線，畫圖可知曲線在點附近位于直線的兩側，①正確；對于②，因為，所以不是曲線：在點處的切線，②錯誤；對于③，，在點處的切線為，畫圖可知曲線：在點附近位于直線的兩側，③正確；對于④，，，在點處的切線為，畫圖可知曲線：在點附近位于直線的兩側，④正確；對于⑤，

，在點處的切線為，令，

可得，所以，

故，可知曲線：在點附近位于直線的下側，⑤錯誤．

25．2【解析】，則，故切線方程過點解得．

26．【解析】，切線斜率為4，則切線方程為：.

27．【解析】（Ⅰ）由題意，

所以，當時，，，

所以，

因此，曲線在點處的切線方程是，

即．

（Ⅱ）因為

所以，

，

令，則，所以在上單調遞增，

因此，所以，當時，；當時．

（1）

當時，，

當時，，，單調遞增；

當時，，，單調遞減；

當時，，，單調遞增．

所以，當時，取到極大值，極大值是，

當時，取到極小值，極小值是．

（2）

當時，，

當時，，單調遞增；

所以，在上單調遞增，無極大值也無極小值．

（3）

當時，，

當時，，，單調遞增；

當時，，，單調遞減；

當時，，，單調遞增．

所以，當時，取到極大值，極大值是；

當時，取到極小值，極小值是．

綜上所述：

當時，函數在和上單調遞增，在上單調遞減，函數既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是．

當時，函數在上單調遞增，無極值；

當時，函數在和上單調遞增，在上單調遞減，函數既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是．

28．【解析】（Ⅰ）因為，所以．

又因為，所以曲線在點處的切線方程為．

（Ⅱ）設，，則

．

當時，，

所以在區間上單調遞減．

所以對任意有，即．

所以函數在區間上單調遞減．

所以當時，有最小值，

當時，有最大值．

29．【解析】（I）由，得．

因為，，

所以曲線在點處的切線方程為．

（II）當時，，

所以．

令，得，解得或．

與在區間上的情況如下：

所以，當且時，存在，，

，使得．

由的單調性知，當且僅當時，函數有三個不同零點．

（III）當時，，，

此時函數在區間上單調遞增，所以不可能有三個不同零點．

當時，只有一個零點，記作．

當時，，在區間上單調遞增；

當時，，在區間上單調遞增．

所以不可能有三個不同零點．

綜上所述，若函數有三個不同零點，則必有．

故是有三個不同零點的必要條件．

當，時，，只有兩個不同零點，所以不是有三個不同零點的充分條件．

因此是有三個不同零點的必要而不充分條件．

30．

【解析】

（Ⅰ）由題意知，曲線在點處的切線斜率為，所以，

又所以．

（Ⅱ）時，方程在內存在唯一的根．

設

當時，，

又

所以存在，使．

因為所以當時，，

當時，，所以當時，單調遞增．

所以時，方程在內存在唯一的根．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程在內存在唯一的根，且時，，時，，所以．

當時，若，．

若，由可知故．

當時，由可得時，單調遞增；時，單調遞減．

可知且．

綜上可得函數的最大值為．

31．【解析】：（Ⅰ），由題設知，解得．

（Ⅱ）的定義域為，由（Ⅰ）知，，

（ⅰ）若，則，故當時，，在單調遞增，所以，存在，使得的充要條件為，

即，解得.

（ii）若，則，故當時，；

當時，，在單調遞減，在單調遞增.所以，存在，使得的充要條件為，

而，所以不合題意．

（iii）若，則．

綜上，的取值范圍是．

32．【解析】：（1）

因為曲線在點處的切線為

所以，即，解得

（2）令，得

所以當時，單調遞增

當時，單調遞減．

所以當時，取得最小值，

當時，曲線與直線最多只有一個交點；

當時，，

，

所以存在，使得

篇2

概念教學的幾個常見誤區及應對策略

高中數學有效訓練的策略分析

新課程背景下數學教學避免內容泛化的幾點思考

“隨機事件的概率”說課

使用新教材后的幾點體會與思考

高中新舊教材中有關“數學家”欄目的研究與實踐

淺談新課程中類比教學

讓“旁批”成為高中數學教學的點金石

以日積月累之功，收水到渠成之效——例談初中幾何證明題中推理根據書寫的教學處理

初中數學變式練習的設計研究

對選修內容《坐標系與參數方程》中坐標系教學的思考

與學生共同經歷解題研究的過程——以兩道試題為例

新課程下高中數學有效課堂教學的探討

初探新課標下初中數學愉悅式教學

初中數學課堂教學有效評價分析

用拉格朗日乘數法巧解二元函數最值

由“錯設”引起的錯誤

從一道三角函數的設問建構三角函數圖象及性質的復習課

應用數學歸納法時的常見七大誤區

例析三角形的解的判定

從容易的事情開始——例說解題突破口的打開

挖掘生成資源，開展有效探究

將課堂學習自還給學生

如何關注數學文化的傳承和數學精神的滋養

—道題、一類題、一條思路——對稱專題“三一”復習法課堂實錄

讓橢圓第二定義“返璞歸真”

在發散中超越“思考與探索”的文本資源

設計教案的幾點體會

數學證明教學要教什么

芻議教師在數學教學中的作用

敢問有效教學之路在何方

幾個有趣的無理不等式

淺談作差法中的數學思想

例談數學解題中對稱性的巧用

向量法與綜合法在幾何解題中的整合

數學化歸思想在七年級教學中的滲透——從新人教版七（上）課本談起

平面向量基本定理的體積表示及其應用

用三視圖來確定小正方體的塊數

構造齊二次式解決圓錐曲線的兩類定值問題

橢圓的內接三角形的一個性質的簡證及其推廣

函數凸性巧證一類條件不等式

構造等差數列研究高考三角求值問題

利用導數研究函數極值要注意檢驗

從思維的層次性談“定義法解題”

例析高考數學中函數模型的最優化問題

—道高考試題的探究

談二次函數在高考中的應用

一道課本例題的探究

《算法初步》高考題型例析

中考試題中的探究性問題簡析

一道競賽習題的解法探究

有圓真好——一道初中數學競賽題的推廣及解法

在數學教學中培養學生的辯證思維

對充分條件與必要條件教學的幾點認識

從一節評優課看數學課堂教學重、難點的處理

一道高三調研試題的探究

一道中考動手操作探究題的變式與拓展

篇3

1.第一輪復習要系統整理，構建數學知識網絡

第一輪復習，也稱“知識篇”。在這一階段，老師帶領同學們重溫高一、高二所學課程，但這絕不只是以前所學知識的簡單重復，而是站在更高的角度，對舊知識產生全新認識的重要過程。因為在高一、高二時，老師是以知識點為主線索依次傳授講解的，由于后面的相關知識還沒有學到，不能進行縱向聯系，因此學生學的往往是零碎的、散亂的知識點，而在第一輪復習時，老師教學的主線索是知識的縱向聯系與橫向聯系，以章節為單位，將那些零碎的、散亂的知識點串聯起來，并將它們系統化、綜合化，側重點在于各個知識點之間的融會貫通。平時復習中應重視教材中概念、定理、公式等基礎知識、基本技能；同時，更應注重知識的發展形成過程，例題的分析思路、求解過程。在復習中應立足教材、夯實基礎，以課本為主，全面梳理知識、方法，注意知識結構的重組與概括。將高中階段所學的數學知識進行系統整理，用簡明的圖表形式把基礎知識進行有機的串聯，構建成知識網絡，使學生對整個高中數學體系有一個全面的認識和把握，以便于知識的存儲、提取和應用，也有利于學生思維品質的培養和提高，這是數學復習的重要環節。第一輪重點是“三基”（基礎知識、基本技能、基本方法）復習，目標是全面、扎實、系統、靈活。學生極易忽視復習課本重要例、習題所蘊含的數學思想方法。在復習過程中應做到以下幾點。

（1）立足課本，迅速激活已學過的各個知識點。（建議大家在高三前的一個暑假里通讀高一、高二教材）

（2）注意所做題目使用知識點覆蓋范圍的變化，有意識地思考、研究這些知識點在課本中所處的地位和相互之間的聯系。注意到老師選題的綜合性在不斷地加強。

（3）明了課本從前到后的知識結構，將整個知識體系框架化、網絡化。

通觀高中數學教材，是由一個大陸、一個半島和一個群島組成的。這個大陸，就是二維空間的形與數，涉及集合、映射與函數，方程與不等式，數列及其極限，直角坐標系下的點與數對、曲線與方程、曲線的交點、參數方程及相關參數的意義，導數及其應用。這個半島，是指立體幾何，它的體系與平面幾何一脈相承，都是古典的公理體系，都要進行嚴密的推理論證，且立體幾何問題一般都要化歸為平面幾何問題來加以解決。當然，還要特別關注向量這一工具的作用，總結出利用向量解決立體幾何問題的基本模式。這個群島，是指離散數學撒在中學教材中的一些珍珠，如排列組合、二項式定理、概率與統計、數學歸納法等。

2.切實做好集體備課工作

對高三復習課一定要精心備課，絕不能按參考資料照本宣科，要對資料上的知識內容、例題、練習題進行深入細致的分析研究，在此基礎上進行必要的整合，梳理知識網絡，組織變題教學，安排針對性的訓練，做好回顧小結。集體備課是提高課堂效率和教師水平的重要環節，集體備課內容為:知識目標、能力目標、情感態度價值觀，知識重、難點及其突破，課前預習題的設置、例題的變式和反思、習題的配置、數學思想方法的滲透。通過集體備課，明確教學目標和教學流程，提高教學能力和水平。集體備課做到定時、定人、定任務、定質量。每周進行一次課堂教研活動，研究三種課型:概念復習課、習題拓展課、試卷講評課。不管是哪種課型，均強調學生的自主學習，注意數學思想方法的總結和回顧反思。集體備課正常進行，教學計劃才能得以周密落實，教師理論水平才會不斷提高，保證課堂效率，從而使教學質量不斷提升。

3.滲透思想，培養能力

近幾年的高考數學試題不僅緊扣教材，而且十分講究數學思想和方法。這類問題一般較靈活，技巧性較強，解法也多樣。這就要求考生找出最佳解法，以達到準確和爭取時間的目的。常用的數學思想方法有：轉化的思想，類比歸納與類比聯想的思想，分類討論的思想，數形結合的思想，以及配方法、換元法、待定系數法、反證法，等等。這些基本思想和方法分散地滲透在中學數學教材的各章節之中，在平時的教學中，教師和學生把主要精力集中于具體的數學內容之中，缺乏對基本的數學思想和方法的歸納和總結；在高考前的復習過程中，教師要在傳授基礎知識的同時，有意識地、恰當地在講解過程中滲透基本數學思想和方法，幫助學生掌握科學的方法，從而達到傳授知識，培養能力的目的。

4.加強訓練，培養學生良好的心理素質

平時的課堂作業我們著重加強五個方面的訓練，即基礎訓練、閱讀訓練、表達訓練、計算訓練、創意訓練。高三學生在高考中要考出水平，必須做到審題細，演算準、表達清。我們對學生灌輸這樣的理念:未弄清題意切勿下筆，要審清問題涉及哪些基礎知識，用什么數學思想方法去突破；表達要完整清晰;過程須簡潔明了，讓人看后一目了然;不輕易丟失應得的分數，解決會而不對、會而不全的老問題。強調高質量地去解題，不求量但求質，通過一個問題的解決，鞏固基礎知識，提高思維能力，提煉數學思想方法。還要求學生把每次的作業都當做考試，養成獨立自主的好習慣，定時完成作業。每次考試后，我們都讓學生總結失分的原因，及時調整復習策略，尤其注意培養學生良好的心理素質，解決學生題目怕新、運算怕繁的心理問題。

5.數學復習中的注意點

（1）關注知識交叉點的訓練。知識的交叉點，即知識之間縱向、橫向的有機聯系，既體現了數學高考的能力立意，又是高考命題的“熱點”，而這恰恰是學生平時學習的“弱點”。

（2）關注思維過程的培養。數學思維過程的表現形式是數學思想方法的集中體現，又是師生共同交流的紐帶。在復習中教師要讓學生人人參與討論，相互進行交流，得以共同提高。

篇4

關鍵詞：高中數學；教材改革；教學模式

高中數學新教改是對高中數學教育的又一次嚴峻挑戰，如何解決數學新教改在推行過程中出現的各種問題，以及有效提高教學質量，推陳出新，是我們應該思考的問題，筆者認為首先要把握好以下幾個方面。

一、明確新課標

要把握新教改的命脈，必須首先清楚它的基本要求與特點，這

樣我們才能在新課標思想的指導下摸索出最佳的教學方式。數學新

課標思想內容主要體現在以下幾點。

1.知識內容的基礎性、選擇性和啟發性

高中數學是進一步的基礎性數學教育，注重培養公民的基本數學素質。其教學內容分為必修與選修，其中必修課是基礎課程，為選修課及大學知識的學習做出鋪墊；針對文理科學生，不同愛好偏向的學生，又設置了不同的選修系列。這樣既避免了課程的單一化，又增加了同學們自由選擇的力度，增加了學生對數學學習的興趣。同時教材在知識傳授上一改以往的直接陳述，而是通過啟發學生自己猜一猜，畫一畫得出結論，內容上更具啟發性。

2.提倡以學生為主，激發學生的再創造能力新課標大力倡導學生自主學習，勇于探索的學習方式。老師只起一個引導作用，啟發學生積極思考與動手，培養學生發現問題，分析問題，解決問題的能力，提高學生的數學思維能力，加強學生的數學應用能力。

3.雙基拓展為四基

在已有的雙基經驗教學上，與時俱進，發展成為四基，即基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，注重全方位提高學生的數學水平。

4.重視“數學教育技術”的使用

為了更生動的上好一堂課，教師可以借助多媒體等工具，全面拓寬學生的視野，不僅提高了學生學習的趣味性，也為數學教學開辟了新的道路。

二、新課標推行初期的現狀

目前正值新課標推行初期，數學新教材的應用還沒有進入成熟階段，老師與同學們在享受新教改全新思維模式的同時也遇到了一些問題，主要體現在：

1.知識量大，教學進度快，學生任務重

現在高中數學新課標必修有5本教材，文科生選修有兩本，理科生有三本。高三一年的時間拿來總復習，只有高一高二在學新內容，也就是說一個高中生平均一個學期要學兩本教材。這樣的教學任務必定會加快教學進度，使學生們感覺知識容量大，速度快，掌握不牢固，課業任務重。

2.新知識讓老師和同學們“望而生畏”

新教材給人最深的印象莫過于內容上下放了一些大學課本中的內容，比如必修中算法的初步應用，選修中導數及其應用（涉及微積分）。現在大學生們在學習算法和微積分時都會感到不易接受，對高中生來說更是無從下手，摸不著門路。有些老師以前也從未接

觸過這些新內容，這讓他們在教學過程中力不從心，無法達到預期的教學效果。

3.有心摘花花不開

新教材中很多內容不是直接給出，而是通過問題讓學生自己思考，學生的側重點不同，可能得不出教材想要引導出的知識，這就要求老師一定要起到很好的闡述作用。

三、找準戰術，逐個擊破

1.教師要具備扎實的專業基礎

師者，傳道授業解惑也。新課標對廣大高中教師提出了新的要求，教師們應該扎實專業基礎，不斷拓寬自己的專業領域。深入了解新教材脈路，做到心中有數，應用靈活，不斷完善教學質量。

2.激發學生學習熱情

只有有了興趣，學生才會由要我學轉化為我要學。新課標注重對學生數學興趣的培養，在教學過程中，我們也應該利用積極的手段激發學生的興趣，比如將導數轉化為求瞬時速度的時候，可以結合奧運會上跳水運動員在空中運動的過程圖像，既直觀，又采用時事熱點抓緊學生們的眼球，使他們充滿好奇希望繼續探究下去。還可以結合課后的自主探究環節，鼓勵同學們閱讀相關書籍，辦數學手抄報，充分提高他們的學習熱情，激發學習的主動性。

3.詳略側重，調整教學進度

依據教綱與考綱，明確不同章節知識點的不同掌握要求，針對不同的程度要求規劃不同進度的課程安排。重點知識盡量做到講解細致，循序漸進，多花一些時間去鞏固加強。次重點知識講解速度則適當加快，達到教學目標即可。這樣詳略得當既不影響教學任務的完成，又利于學生對教材知識的掌握。

4.化抽象為具象，滲透數學思想

想要把一個抽象的數學問題講清楚，必須學會把它具象化。例如在定積分中求解曲邊梯形的面積時，我們采用微元法，將曲邊梯形分成一個個很小的長方形，而長方形更為具體直觀，它的面積也是以前學過的，所有長方形面積之和就是曲邊梯形的面積，問題得到簡化。新教材體現數學思想的應用，其中很重要的一條便是用已經學過的知識去解決未知知識。教學過程中需要不斷滲透數學思想，以培養學生的數學思維能力。

5.規范的示范作用

新課標更加要求提高學生們的數學素質，只有經過千錘百煉，才能青出于藍而勝于藍。學生學習首先是通過模仿然后實現再創造，因而教師必須起到規范的示范作用，良好的思維方式，嚴謹的解題步驟不可或缺。學生通過模仿老師的思路步驟，形成解題模式，從而提高學習能力。

四、教學相長促繁榮

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一、新教材的優點

1.定位準確

必修課程的5個模塊定位為：使所有學生掌握高中數學的基礎知識和基本技能，注重提高學生在數學方面的各種能力，發展學生的理性思維習慣，提高學生對數學價值的認識，培養他們的應用意識和創新意識.其中模塊1是基礎中的基礎，它包括了集合、基本初等函數及其應用，我們采取了1的順序開展教學.

2.理念創新

新教材在總體上為學生構建共同基礎，提供發展平臺，又兼顧個性發展的選擇，強調師生互動，學生在老師引導下，主動積極地參與學習，獲取知識，發展思維能力，著眼學生的發展與未來，注重數學應用意識，突出體現數學的文化價值和教學手段的現代化.

3.設計新穎

5個必修模塊的設計與布局與舊教材不同，對新知識的學習，大部分都通過適當的問題情景，引出需要學習的數學內容，然后安排觀察、探究、思考、提示等引導學生用正確的學習方式掌握知識；同時又了許多輔助資料，如：探究與發現、閱讀與思考、觀察與發現、信息技術應用等到拓展性欄目，為學生學習提供選學素材，極大地開闊學生的視野.同時，教材留有許多空白空間，讓學生在學習過程中自由發揮，充滿個性.課本習題的A(B)類型設計，滿足不同學生的需求，對發展不同學生的數學能力提供了舞臺.特別是B中的某些問題，既是課本知識的補充，又為后續學習埋下伏筆，課本中不乏精彩習題出現，非常值得鉆研.

4.注重情景引入

教材在很多地方都有情景引入，如垂直關系的判定引入中，教材先舉例一：學校的操場上樹立的國旗桿與地面是垂直的.例二：將書打開直立在桌面上，書脊和書的各頁面都與桌面垂直.例三：拿一塊教學用的三角板放在墻角，將三角板轉動.大量的情景設置，使學生獲得了直線與平面垂直的形象認識，為直線與平面垂直的判定定理的提出作了很好的鋪墊.

5.課題學習的設置培養了學生探究能力

在教材中精心設計了課題學習《正方體截面的形狀》，提出了問題及研究的建議.要求寫一份學習報告，所涉及的問題在學生的能力范圍以內，具有可行性.同時也很好地聯系了生活，培養了學生實際動手制作能力.

6.注重聯系生活

教材中大量的情景和實例多數來自生活，在每個小節開始前都會給出一些形象的圖片，如介紹球時展示了地球和足球兩張圖片，三視圖的介紹中展示了飛機與汽車模型.習題也有很多來源于生活.

二、新教材中值得商榷的幾點認識

1.應用題目一般很長

有些學生沒有相關的生活經歷，特別是農村學生，無法理解題意，如稅收問題、貸款問題，等等.數學知識的應用固然重要，但不能要求過高，不能為了“應用”而應用，教材中牽強的、要求過高的地方出現的比較多，與學生的實際情況有距離.如：《必修1》76頁例6，《必修4》第六節《三角函數模型的簡單應用》中的例3、例4等題目，脫離學生的實際水平，題目失去了設置的意義.應用問題應基礎、基本，讓學生感覺數學就在身邊，自己有能力解決許多問題，以免造成看見應用問題就害怕的局面.

2.不重視對概念下定義

造成學生學完后沒有形成概念知識，缺乏知識的完整性、系統性，結果是教師到了高三仍要補充相關的概念定義.有時教材為了減輕學生的負擔，簡化概念的定義，如：三角函數的定義不具有普遍性，學生在練習“已知角的終邊過點P（3，4），求角的三角函數值”時結果出現錯誤.建議采納舊教材的三角函數定義.

3.例、習題設計需進一步斟酌

新課程實施中，發現課本例題與習題不夠配套，如《數學》必修2所提到的“斜線與平面所成的角”，安排了難度不低的例題2，但沒有一題相應的練習題、習題，讓人摸不著頭腦；有些題目設計不夠嚴謹；有些知識點銜接不好，如學習直線的斜率時由于沒有學三角函數，很勉強地加了公式；教材很多都以物理為背景引入數學知識，但兩個學科在時間上有時差，如由“簡諧運動”引出三角函數的曲線，由物體做功引出向量的數量積等，對學生學習新知識沒有什么幫助.

4.淡化了定理的證明，不利于培養學生的邏輯思維能力

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2012年高考湖北數學試題創造性地融入了新課程理念與目前數學教學中的新思想、新觀念和新要求，試卷整體突出了對高中數學基礎知識、數學理性思維、數學應用能力和學生創新意識等方面的考查，成功實現了“考查目標以考查能力與素質為主，考查內容遵循《教學大綱》，依據教材，考查試題新穎脫俗突出重點”的命題指導思想.

1.貫徹課改理念，形成科學導向

2012年高考湖北數學卷集中體現出“結構合理、注重基礎、靈活新穎、拓展思維、考查能力”的鮮明特色.試題立意鮮明、取材講究、形式活潑，增強了考試的活力.命題者還在知識網絡的交匯處設計問題，創設問題情景，把握住了時代的脈搏.

2.試卷結構合理，試題樸實無華

2012年高考湖北數學卷，重點突出，層次分明，以主干知識構建試題主體，在考查主干知識、學科整體意義上設計試題.重點內容重點考，主干知識反復考.考查函數、不等式、數列、向量、圓錐曲線、空間線面、概率統計、導數等主干知識及其應用的考題占全卷總分的80%左右.文理科新增內容均占總分的20%左右.

試題樸實無華的風格充分表現在淡化特殊技巧，注重通性通法的考查上.試題選材從考查基礎知識出發，解題方法立足常規.試題的情境、載體和設問都力求公平、自然和貼切，不刻意設置障礙為難考生.試卷圖文并茂，努力追求外部形式與內部結構的和諧統一.縱觀文理全卷，不難發現考查基礎主干是不變的旋律，重視探究應用是新課改的指向，力求推陳出新是永遠的追求.絕大多數試題以簡單的問題、常見的背景、基本的方法、規范的陳述呈現在考生面前，讓考生能在寬松、平和的氛圍之中進行數學思維和邏輯推理.

3.試題立足教材，摒棄題海戰術

試題回歸教材，增效減負，是2012年高考湖北文理試卷的又一亮點.2012年高考湖北數學文理卷通過將課本上的典型例題、習題、材料進行加工、改造、整合而成的試題的分值均超過了90分.如文10、理8由教材必修3，P140練習第1題改編而成；文3、理9由教材必修4，P45.2（2）加工而成；文16、理12與教材必修3，P15的程序框圖如出一轍；文20、理18以教材必修5，P44例2為素材加工而成；文21、理21取材于教材選修2-1，P41例2.還有文科1，2，4，5，8，9，11，12，14，15，19題與理

科1，2，3，4，5，6，11，14，15，16，19題均是教材中例題、習題的類題、變題、組合題.不僅如此，試題的表達方式與語言敘述盡可能與教材保持統一.這種在源于教材的基礎上推陳出新，適當引申拔高的命題方式，充分體現了“重視教材，重視基礎，重視思想方法，重視綜合能力”的命題原則.

4.注重傳承創新，彰顯數學文化

2012年高考湖北數學卷較往年更加成熟，文理試卷在保持穩定的基礎上邁出了“穩中求變、變中求實、實中求新”的步伐.不少考題似曾相識，又未曾相識，全部命題以原創形式呈現，反映了命題者在考查考生創新思維能力方面所做的有益探索.原創題立足于基礎，以考生熟悉、常見的問題為背景，給考生提供了一個公平答題的平臺和機會，消除了考生心理上的恐懼，讓考生能夠正常發揮其真實水平.試卷一是注重數學知識的靈動.如文8的“求正弦比值”、文10的“陰影圖形求概率”、文15的“幾何體求體積”、文21的“探索參數m值”等等；理3的“定積分求面積”、理5的“二項定理求余數”、理13的“回文數求個數”、理15的“CD求最大值”、理22的“證明推廣結論”等等，均力求在動態變化過程中設置問題，進而全面客觀地檢測考生的觀察、聯想、猜測、類比、探究等思維品質.二是注重數學知識的應用.如文15“用啞鈴實物為素材的組合體求體積”、文19的“零件表面防腐加工處理”、理20的“工期延誤天數的概率、均值、方差”等等，試題背景公平，貼近生產，關注生活.在體現數學的學科價值和人文價值的同時，體現出了數學與社會、人與自然的和諧統一.三是注重數學文化彰顯.如文17的“古希臘畢達哥拉斯學派研究的三角形數”、理10的《九章算術》中近似計算“開立圓術”、理14的“優美雙曲線”、文7理7的新定義“保等比數列函數”等等，從“古”“洋”“今”多層面、多角度、多方位地將知識、方法、能力適度交融，以彰顯數學文化.“歷史使人明智”，恰當地引入數學史料，展示其深刻內涵和完美形式，對開闊考生視野，啟迪考生思維都大有裨益.這種“在傳承中折射創新，在平和中凸顯精彩”的命題風格，很有可能延續到2013年.

5.有效控制難度，正視文理差異

2012年高考湖北數學試題在整體安排上由易到難，由淺入深，由簡單到綜合.選擇題、填空題、理科選做題都盡量減少計算量，考生只要概念清楚、基礎扎實就能順利得到基本分數.解答題均堅持設置一題多問，且層次分明、梯度合理，較好地控制了入口的難度，使考生易于上手，倍增信心，幾乎每道題的第一問都很容易拿分，但完全答對則需要具備扎實的功底，因而從整體看去年的文理試卷都達到了“難度適中，坡度平緩”的效果.同時，命題者根據文理科的教學實際和高校對文理考生的不同要求，對文理科考生群體在數學學科上表現出的差異，給予了準確的定位，文科試題重視數學的工具性和形象性，理科試題突出數學概念的深刻性和抽象性.

6.倡導素質教育，突出能力考查

2012年高考湖北數學卷的命題重點是考查考生運用數學知識分析問題的方法和解決問題的能力，它包括邏輯思維能力、運算求解能力、觀察分析能力、數據處理能力、空間想象能力、創新應用能力.創新意識和創造能力是理性思維的高層次表現，知識的遷移、組合、融合的程度越高，展示能力的區域就越寬，展示能力的層次就越厚，顯現出的創造意識也就越強.2012年高考湖北文理數學試卷保持了這種命題的特點，全卷沒有出現偏難、偏怪的試題，命題者力圖通過簡潔通俗的語言表達，讓考題不僅能考查考生數學知識的積累是否達到了能夠進入高校學習的基本水平，還能以數學最基本的問題為載體測量考生將知識遷移到不同情景的能力，突出了試卷甄別、選拔、導向的功能.這再一次向考生傳遞出一種新的信息，即減少重復訓練，跳出題海戰術，理解數學本質，發展數學能力是數學學習之根本.因此，高三數學復習備考應把培養學習興趣放在首位，注重獨立思考，努力做到“自主學習、自由交流、自發探究”.

分析2012年高考湖北數學試題，可以看到新高考呈現出融數學教育的新思想、新觀點、新理念于數學命題之中，在數學認知、理性思維、數學應用與創新和數學人文價值等方面設計試題，努力實現數學的文化性、應用性與理論性的有機結合與相互滲透.給考生的啟示是：